Нарушение равновесия

Доска отрывается от опоры \(B\), когда момент силы давления песка относительно опоры \(A\) сравняется с моментом веса доски. Сила давления песка складывается из динамической (от падающего потока) и статической (от накопившегося на доске песка) составляющих.

Согласно правилу моментов относительно полюса \(A\) правый край доски оторвётся от опоры \(B\) в момент, когда сила, действующая на левый край доски, станет равной: \[F = \frac{Mg}{2}.\] Эта сила складывается из двух составляющих — статической и динамической.

Пока песок летит, он не действует на доску. Время его падения от заслонки бункера до доски равно \(\tau = \sqrt{2H/g}\). Затем на доску начинает действовать постоянная динамическая составляющая силы: \[F_{\text{д}i} = \mu_i v,\] где \(v = \sqrt{2gH}\) — скорость песка перед падением на доску, \(\mu_i\) — массовый расход песка в \(i\)-м опыте.

В то же время постепенно начинает расти статическая составляющая силы: \[F_{\text{с}i} = \mu_i (t - \tau)\,g,\] возникающая за счёт увеличения массы песка на доске. Поэтому в момент времени \(t > \tau\) суммарная сила, действующая на доску со стороны песка, равна: \[F_i = F_{\text{д}i} + F_{\text{с}i} = \mu_i\,g\,t,\] причём время \(t\) отсчитывается от момента открытия заслонки бункера.

Теперь рассмотрим результаты эксперимента. Так как в первых двух опытах время не зависит от расхода песка, то \(\tau_1 = \tau = \sqrt{2H/g}\), откуда высота падения песка: \[H = \frac{g\tau_1^2}{2} = 5~\text{м}.\]

Уменьшение массового расхода в 4 раза приводит к тому, что динамической составляющей уже не хватает для начала опрокидывания доски. Тогда, используя полученные выражения, находим массовый расход песка: \[\mu = \frac{M}{2\tau_2} = 0{,}2~\text{кг/с}.\]