Груз на горке

Запишите законы сохранения энергии и импульса для системы «груз–горка». Как меняются эти уравнения, если масса горки много больше массы груза?

Пусть скорость системы в начальном состоянии \(v_0\), высота горки \(H\). Запишем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса для системы груз–горка: \[mgH + (m+M)\frac{v_0^2}{2} = M\frac{v_1^2}{2} + m\frac{v_2^2}{2}, \qquad (m+M)v_0 = Mv_1 + mv_2,\] где \(v_1\) — скорость горки после соскальзывания груза, \(v_2\) — скорость соскользнувшего груза.

Поскольку нас не интересует конечная скорость горки, исключим из уравнений скорость \(v_1\), в результате чего получим: \[v_2^2 - 2v_0v_2 + v_0^2 - 2gH\,\frac{M}{m+M} = 0.\] Так как по условию задачи \(v_2 > v_0\), то \[v_2 = v_0 + \sqrt{2gH\,\frac{M}{m+M}}.\] Теперь учтём, что \(m \ll M\). В этом случае \[v_2 = v_0 + \sqrt{2gH}.\] Кинетическая энергия груза, съехавшего с горки, равна: \[K_2 = \frac{mv_2^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2} + mgH + mv_0\sqrt{2gH}.\] По условию \(\Pi = 4K_1\), откуда следует, что \(v_0 = \sqrt{gH/2}\). После подстановки в выражение для \(K_2\) окончательно имеем: \[K_2 = K_1 + \Pi + mgH = 2{,}25\,\Pi = 2{,}25~\text{Дж}.\]