Цепь с конденсатором

Энергия, запасённая в конденсаторе, \(W = q^2/(2C)\), где \(q\) — заряд на обкладках конденсатора, а \(C\) — ёмкость конденсатора. Дифференцируя выражение для энергии по времени, получим: \[\frac{dW}{dt} = P = UI_C.\] Запишем второе правило Кирхгофа для контура \(ABCD\) (рис. 23), обозначая через \(I\) силу тока, текущего через резистор \(r\): \[Ir + U = \mathcal{E}, \qquad \text{откуда} \qquad I = \frac{\mathcal{E} - U}{r}.\] Применяя второе правило для контура \(ABEF\), получим: \[U = (I - I_C)R,\] где учтено, что сила тока, текущего через резистор \(R\), равна \(I_R = I - I_C\). Подставим в это выражение значение \(I\). Тогда: \[I_C = \frac{dq}{dt} = \frac{\mathcal{E}R - U(R+r)}{Rr}.\] Исследуем на максимум произведение \[U\,\frac{dq}{dt} = \frac{U\mathcal{E}}{r} - \frac{U^2(R+r)}{Rr}.\] Это квадратный трёхчлен, график которого — парабола с ветвями вниз. Его значение достигает максимума в вершине параболы, то есть при \[U = \frac{R}{2(R+r)}\,\mathcal{E}.\] Такое же напряжение будет на конденсаторе в момент размыкания ключа. Тогда количество теплоты, выделившееся в цепи после размыкания ключа, равно: \[Q = W = \frac{CU^2}{2} = \frac{C\mathcal{E}^2}{8}\left(\frac{R}{R+r}\right)^2.\]