Лампа-вспышка и нелинейный конденсатор

Работа по увеличению заряда на \(dQ\) при напряжении \(U\) равна \(U\,dQ\). Какая это площадь на графике? Ток зарядки через резистор равен \((U_0-U)/R\): как отсюда найти время зарядки до напряжения \(U_1\)?

\(W_{\max}=\displaystyle\int_0^{Q_0}U\,dQ\approx60\) Дж (площадь под графиком до \(U_0=300\) В); число вспышек в минуту не больше \(\approx4\) (время зарядки до \(250\) В около \(16\) с).

Что происходит. Конденсатор нелинейный, поэтому энергия не равна \(CU^2/2\): заряд \(Q\) и напряжение \(U\) связаны кривой, а ёмкость при каждом заряде своя. Элементарная работа на добавление заряда \(dQ\) при напряжении \(U\) равна \(U\,dQ\), и энергия, запасённая при зарядке от \(0\) до \(Q_0\), — это площадь под графиком \(U(Q)\). Вспышка разряжает конденсатор полностью и выделяет эту энергию. Число вспышек определяется временем зарядки: оно задаётся законом Ома для резистора, через который течёт ток зарядки.

Обозначения. \(Q_0\) — заряд при \(U_0=300\) В, \(Q_1\) — заряд при \(U_1=250\) В, \(W\) — энергия вспышки, \(t_1\) — время зарядки конденсатора от нуля до \(U_1\). Значения \(U(Q)\) снимаем по рисунку 7.

1. Максимальная энергия вспышки. Она соответствует наибольшему напряжению, до которого конденсатор можно зарядить от батареи, то есть \(U_0=300\) В; по графику ему отвечает \(Q_0\approx0{,}29\) Кл. Энергия \[W_{\max}=\int_0^{Q_0}U\,dQ\] — площадь под кривой от \(0\) до \(Q_0\) (на рисунке закрашена). Считаем по трапециям с шагом по заряду \(0{,}05\) Кл; напряжения по графику: \(0\) (\(Q=0\)), \(125\), \(191\), \(236\), \(267\), \(288\) В при \(Q=0{,}05;\,0{,}10;\,0{,}15;\,0{,}20;\,0{,}25\) Кл и \(300\) В при \(0{,}29\) Кл: \[W_{\max}\approx0{,}05\Bigl(\tfrac{0+125}{2}+\tfrac{125+191}{2}+\tfrac{191+236}{2}+\tfrac{236+267}{2}+\tfrac{267+288}{2}\Bigr)+0{,}04\cdot\frac{288+300}{2}\approx60\text{ Дж}.\] Трапеции чуть занижают площадь под выпуклой кривой; точнее, около \(62\) Дж. Принимаем \(W_{\max}\approx60\) Дж.

Обратите внимание: линейный конденсатор той же ёмкости \(C_0=Q_0/U_0\) запасал бы только \(Q_0U_0/2=44\) Дж; для нелинейного энергия — площадь под реальной кривой, а не половина произведения \(QU\).

2. Зарядка через резистор. Напряжение на резисторе равно разности напряжения батареи и напряжения на конденсаторе. Закон Ома для резистора: \[\frac{dQ}{dt}=\frac{U_0-U(Q)}{R}\quad\Rightarrow\quad dt=\frac{R\,dQ}{U_0-U(Q)} .\] Это верно в любой момент зарядки: зависимость \(U(Q)\) у конденсатора своя, а резистор линеен.

3. Время зарядки до \(U_1\). Минимальное напряжение вспышки \(U_1=250\) В, ему по графику отвечает \(Q_1\approx0{,}17\) Кл. Чем раньше зажигать лампу, тем чаще вспышки, поэтому зажигаем при \(U=U_1\) и сразу разряжаем конденсатор полностью. Суммируем \(dt\) от \(Q=0\) до \(Q_1\): \[t_1=R\int_0^{Q_1}\frac{dQ}{U_0-U(Q)} .\] Вычисляем по трапециям с шагом \(0{,}02\) Кл. Значения подынтегральной функции \(R/(U_0-U)\) в с/Кл при \(Q=0;\,0{,}02;\,\dots;\,0{,}12\) Кл: \(33,\ 43,\ 52,\ 63,\ 76,\ 92,\ 112\), при \(Q=0{,}14\) Кл: \(139\), при \(Q_1=0{,}17\) Кл: \(200\): \[t_1\approx0{,}02\cdot524+0{,}031\cdot\frac{139+200}{2}\approx10{,}5+5{,}2\approx16\text{ с}.\] Подынтегральная функция растёт при приближении к \(U_0\), поэтому на подходе к \(U_1\) зарядка замедляется (график \(U(t)\) на рисунке).

4. Число вспышек. За минуту \[N\approx\frac{60\text{ с}}{t_1}\approx\frac{60}{16}\approx4 .\] Точно: три полных цикла укладываются в \(47\) с, и четвёртая вспышка наступила бы на \(63\)-й секунде, так что в первую минуту получаются три вспышки, а при непрерывной работе — около четырёх в минуту. Это оценка: график даёт напряжение с точностью порядка нескольких процентов.

Проверка. Размерность: \([\text{В}\cdot\text{Кл}]=\text{Дж}\); \([R\,Q/U]=\text{Ом}\cdot\text{Кл}/\text{В}=\text{с}\). Второй способ: для линейного конденсатора с ёмкостью \(C_0=Q_0/U_0\approx0{,}98\) мФ время зарядки до \(U_1\) равнялось бы \(RC_0\ln\frac{U_0}{U_0-U_1}=9{,}8\cdot\ln6\approx17{,}6\) с — того же порядка, что и \(16\) с; энергию мы уже сравнили (\(44\) и \(60\) Дж). Физический смысл: батарея при полной зарядке отдаёт \(Q_0U_0\approx88\) Дж, из них \(60\) Дж идут во вспышку, остальное выделяется в резисторе.

Ответ: \(W_{\max}\approx60\) Дж; не более \(\approx4\) вспышек в минуту.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.