Нагреватель через конденсатор

Полезное тепло — это тепло, выделившееся на нагревателе \(R\). Посчитайте, сколько энергии отдаёт батарея и сколько тепла выделяется на нагревателе за один заряд и один разряд, не интересуясь формой тока: и там, и там ток течёт по одной цепи, а заряд, прошедший по ней, известен.

\(\eta=\dfrac12\left(1+\dfrac{R}{R+r}\right)=\dfrac{2R+r}{2(R+r)}=\dfrac{6}{11}\approx0{,}55\); при прямом подключении \(\eta_0=\dfrac{R}{R+r}=\dfrac1{11}\approx0{,}09\); КПД выше в \(\dfrac{\eta}{\eta_0}=\dfrac{2R+r}{2R}=6\) раз.

Что происходит. В положении «\(a\)» батарея заряжает конденсатор через нагреватель: ток течёт по цепи батарея — \(r\) — \(C\) — \(R\), и тепло выделяется и на внутреннем сопротивлении батареи, и на нагревателе. В положении «б» батарея отключена, а конденсатор разряжается через нагреватель: вся его энергия превращается в тепло на \(R\). Главная идея — считать энергию за один цикл: сколько отдала батарея, сколько тепла выделилось на \(R\). Так как конденсатор успевает зарядиться и разрядиться полностью, число переключений в секунду на КПД не влияет.

Обозначения. \(q=C\mathcal{E}\) — заряд конденсатора в конце зарядки; \(A\) — работа батареи за один цикл; \(Q_R\) — полезное тепло на \(R\); \(\eta=Q_R/A\) — КПД схемы.

1. Зарядка (ключ в положении «\(a\)»). За время зарядки через батарею проходит заряд \(q=C\mathcal{E}\) (в конце зарядки ток прекращается, и напряжение на конденсаторе равно \(\mathcal{E}\)). Работа батареи — заряд, умноженный на её э. д. с.: \[A=q\,\mathcal{E}=C\mathcal{E}^{2}=200\cdot10^{-6}\cdot10^{4}\text{ Дж}=2\text{ Дж}.\] Эта энергия делится так. В конце зарядки конденсатор запас \(W=\dfrac{C\mathcal{E}^{2}}{2}\) (формула энергии заряженного конденсатора), остальное — тепло на двух последовательных сопротивлениях \(r\) и \(R\): \[Q_{\text{зар}}=A-W=\frac{C\mathcal{E}^{2}}{2}=1\text{ Дж}.\] Ток в обоих сопротивлениях один и тот же в каждый момент, поэтому тепло делится пропорционально сопротивлениям (закон Джоуля — Ленца, \(dQ=I^{2}R\,dt\) при общем \(I\)): \[Q_R^{\text{зар}}=\frac{R}{R+r}\cdot\frac{C\mathcal{E}^{2}}{2},\qquad Q_r^{\text{зар}}=\frac{r}{R+r}\cdot\frac{C\mathcal{E}^{2}}{2}.\] Обратите внимание: это справедливо для любого вида зависимости тока от времени, раз сопротивления соединены последовательно; решать уравнение зарядки не нужно.

2. Разрядка (ключ в положении «б»). Батарея отключена, конденсатор замкнут на нагреватель. Вся запасённая энергия переходит в тепло на \(R\): \[Q_R^{\text{разр}}=\frac{C\mathcal{E}^{2}}{2}=1\text{ Дж}.\]

3. КПД схемы. Полезное тепло за цикл — сумма тепла на \(R\) при зарядке и разрядке, затраченная энергия — работа батареи: \[\eta=\frac{Q_R^{\text{зар}}+Q_R^{\text{разр}}}{A} =\frac{\dfrac{C\mathcal{E}^{2}}{2}\left(\dfrac{R}{R+r}+1\right)}{C\mathcal{E}^{2}} =\frac12\left(1+\frac{R}{R+r}\right)=\frac{2R+r}{2(R+r)}.\] Численно \(\eta=\dfrac{120}{220}=\dfrac{6}{11}\approx0{,}55\) (\(Q_R=0{,}09+1=1{,}09\) Дж из \(2\) Дж).

4. Прямое подключение. Нагреватель включён к батарее напрямую: ток \(I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}\) постоянный, полезная мощность \(I^{2}R\), а полная — \(I\mathcal{E}\). Их отношение \[\eta_0=\frac{I^{2}R}{I\mathcal{E}}=\frac{R}{R+r}=\frac1{11}\approx0{,}09 .\]

5. Сравнение. \[\frac{\eta}{\eta_0}=\frac{2R+r}{2(R+r)}\cdot\frac{R+r}{R}=\frac{2R+r}{2R}=\frac{120}{20}=6 .\]

Проверка. Предельный случай \(r\to0\): \(\eta\to1\), как и должно быть, если потерь нет (батарея идеальная, всё тепло на \(R\)), а \(\eta_0\to1\) тоже, отношение стремится к \(1\): выигрыша нет. При \(r\gg R\): \(\eta\to\dfrac12\), \(\eta_0\to0\): отношение велико, потому что половину энергии мы всё равно берём из конденсатора, где она никакому \(r\) не достаётся. Размерности: \(C\mathcal{E}^{2}\) — Ф\(\cdot\)В\(^{2}\) = Дж. Физический смысл: при зарядке половина энергии батареи остаётся в конденсаторе и целиком возвращается на нагреватель, а при прямом включении почти всё тепло выделяется на большом внутреннем сопротивлении батареи. Заодно видно, что частота \(f\) нужна только для мощности: \(P_{\text{бат}}=fA=20\) Вт, на нагревателе \(fQ_R\approx10{,}9\) Вт, при прямом подключении \(\mathcal{E}^{2}R/(R+r)^{2}\approx8{,}3\) Вт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.