Гейзер

Вода кипит, когда давление насыщенного пара сравнивается с давлением над ней, а оно у резервуара определяется столбом воды в канале. Что произойдёт с давлением над водой, когда канал опустеет, и откуда возьмётся теплота на испарение?

Вода в резервуаре закипает при \(t_1\approx180\,^\circ\text{C}\), к концу извержения остывает до \(t_2=100\,^\circ\text{C}\); резервуар теряет около \(14\%\) воды (порядка \(15\%\)).

Что происходит. Пока канал полон воды, давление над водой в резервуаре равно давлению столба воды в канале плюс атмосферному. Такая вода закипает не при \(100\,^\circ\text{C}\), а при той температуре, при которой давление насыщенного пара достигает этого значения. Как только вода закипела, пар вытесняет воду из канала и выбрасывается наружу, давление над резервуаром падает до атмосферного. Перегретая вода оказывается выше точки кипения при \(1\) атм, кипит бурно и остывает, отдавая теплоту на испарение, пока не достигнет \(100\,^\circ\text{C}\). Главная идея — уравнение теплового баланса: теплота, которую отдаёт остывающая вода, идёт на превращение части воды в пар, а пар уносит эту часть из резервуара.

Обозначения. \(m\) — масса воды в резервуаре до извержения; \(p_0=1\) атм — атмосферное давление; \(t_1\) — температура начала кипения, \(t_2\) — температура конца извержения; \(\Delta t=t_1-t_2\).

1. Температура начала кипения. Резервуар соединён с поверхностью узким каналом, полным воды, поэтому давление над водой в резервуаре равно \[p_1=p_0+\rho g h=1{,}0\text{ атм}+\frac{10^{3}\cdot 9{,}8\cdot 90}{1{,}01\cdot10^{5}}\text{ атм}\approx 1{,}0+8{,}7=9{,}7\text{ атм}.\] Вода закипает, когда давление насыщенного пара становится равным давлению над ней. По графику на рисунке 6 давление \(9{,}7\) атм соответствует \(t_1\approx180\,^\circ\text{C}\) (построение — на рисунке).

2. Температура конца извержения. Когда канал заполнен только паром, давление над водой равно атмосферному (пар свободно выходит наружу). Вода кипит при этом давлении, пока температура выше \(t_2=100\,^\circ\text{C}\): по графику \(p=1\) атм при \(100\,^\circ\text{C}\). Охладившись до \(100\,^\circ\text{C}\), вода перестаёт кипеть и извержение прекращается. Обратите внимание: воды в самом канале мало (канал узкий), поэтому её выброс в оценке не учитываем.

3. Тепловой баланс. Рассмотрим момент, когда в резервуаре осталась вода массой \(M\) при температуре \(t\). За малый промежуток температура падает на \(dt<0\), и вода отдаёт теплоту \(Mc\,|dt|\). Она идёт на испарение массы \(|dM|\), то есть \(L\,|dM|\), а пар сразу уходит из резервуара (потерями теплоты в стенки пренебрегаем; удельную теплоту испарения считаем постоянной и равной данной): \[L\,|dM|=c\,M\,|dt|\quad\Rightarrow\quad \frac{|dM|}{M}=\frac{c}{L}\,|dt|.\] Суммируем от начала извержения (\(t_1\), масса \(m\)) до конца (\(t_2\), масса \(m-\Delta m\)): \[\ln\frac{m}{m-\Delta m}=\frac{c\,\Delta t}{L}.\]

4. Доля потерянной воды. \[\frac{\Delta m}{m}=1-\exp\!\left(-\frac{c\,(t_1-t_2)}{L}\right).\] Подставляем: \(\dfrac{c\,\Delta t}{L}=\dfrac{4{,}2\cdot10^{3}\cdot 80}{2{,}26\cdot10^{6}}\approx 0{,}149\), поэтому \[\frac{\Delta m}{m}=1-e^{-0{,}149}\approx 0{,}14 .\] Обратите внимание: если грубо приравнять \(mc\Delta t=\Delta m\,L\) (будто остывает вся исходная масса), выйдет \(0{,}149\approx15\%\); точнее — \(14\%\). Для оценки это одно и то же: гейзер теряет за извержение порядка \(15\%\) воды.

Проверка. Размерность: \(c\,\Delta t/L\) — (Дж/(кг\(\cdot\)К))\(\cdot\)К / (Дж/кг) — безразмерно, как и должно быть для доли. Предельный случай: при \(\Delta t\to0\) (вода уже при \(100\,^\circ\text{C}\)) доля теряемой воды стремится к нулю. Второй способ: для малого \(x\) формула даёт \(x\approx c\Delta t/L\), а это ровно баланс «вся вода остыла, теплота пошла на пар». Физический смысл: чтобы остыть на \(80\) градусов, каждый килограмм воды должен отдать \(c\Delta t\approx3{,}4\cdot10^{5}\) Дж, а один килограмм пара уносит \(2{,}26\cdot10^{6}\) Дж, то есть примерно в семь раз больше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.