Дуга с балластным резистором

Напряжение источника делится между резистором и дугой: \(U=IR+U_{\text{д}}(I)\). Нарисуйте на графике рисунка 8 прямую \(U_{\text{д}}=U-IR\) для разных \(R\) и посмотрите, при каком наибольшем \(R\) она ещё пересекает кривую.

\(R_{\max}\approx4{,}6\) Ом (прямая \(U_{\text{д}}=85-IR\) касается характеристики дуги в точке \(I\approx3{,}8\) А, \(U_{\text{д}}\approx67{,}6\) В).

Что происходит. Дуга и резистор соединены последовательно, ток у них общий, а напряжения складываются до напряжения источника. Дуга — нелинейный элемент, её напряжение при токе \(I\) берём с графика, напряжение на резисторе — \(IR\). Дуга горит, если есть ток, при котором оба условия выполнены. Главная идея — графическое решение: на плоскости \((I,U_{\text{д}})\) пересечение характеристики дуги и «нагрузочной прямой» \(U_{\text{д}}=U-IR\) даёт рабочую точку.

Обозначения. \(U=85\) В — напряжение источника; \(R\) — сопротивление резистора; \(U_{\text{д}}(I)\) — напряжение на дуге (кривая рисунка 8).

1. Уравнение цепи. Закон Ома для резистора и закон сохранения энергии (сумма напряжений на последовательных участках равна напряжению источника) дают \[U=U_{\text{д}}(I)+IR\quad\Rightarrow\quad U_{\text{д}}=U-IR .\] Это прямая, проходящая через точку \((0;85\text{ В})\) с угловым коэффициентом \(-R\). Рабочая точка — её пересечение с кривой. Чем больше \(R\), тем круче прямая. При \(R=2\) Ом прямая пересекает кривую дважды (при \(I\approx1{,}7\) А и \(I\approx15{,}5\) А), при \(R=8\) Ом — ни разу: прямая везде ниже характеристики, горящей дуги нет.

2. Граничный случай. Кривая выпуклая (убывающая, всё более пологая), поэтому предельная прямая — та, что проходит через \((0;85)\) и касается кривой: при чуть большем \(R\) пересечений нет. Построив касательную из точки \((0;85\text{ В})\) к графику, находим точку касания \(I_0\approx3{,}8\) А, \(U_{\text{д}0}\approx67{,}6\) В. Сопротивление определяется наклоном прямой: \[R_{\max}=\frac{U-U_{\text{д}0}}{I_0}=\frac{85-67{,}6}{3{,}8}\text{ Ом}\approx4{,}6\text{ Ом}.\]

3. Тот же результат вторым способом. Любая точка кривой \((I;U_{\text{д}})\) задаёт сопротивление, при котором прямая проходит через эту точку: \(R(I)=\dfrac{U-U_{\text{д}}(I)}{I}\). Дуга может гореть, если такое \(R\) достижимо, значит, \(R_{\max}\) — наибольшее значение этой функции. На рисунке она построена по точкам графика: максимум \(4{,}6\) Ом при \(I\approx3{,}8\) А.

Обратите внимание: дуга горит устойчиво, только если \(R>\left|\dfrac{dU_{\text{д}}}{dI}\right|\) в рабочей точке (на падающем участке характеристики). Из двух пересечений при \(R<R_{\max}\) устойчиво правое, где кривая пологая; при \(R=R_{\max}\) точка касания — граница, при \(R>R_{\max}\) дуга погаснет.

Проверка. Размерность: В/А = Ом. В точке касания наклон кривой равен наклону прямой: по графику \(\dfrac{dU_{\text{д}}}{dI}\approx\dfrac{63{,}4-70{,}5}{4{,}8-3{,}3}\approx-4{,}7\) Ом, что с точностью чтения графика совпадает с \(4{,}6\) Ом. Предельный случай: при \(U\to U_{\text{min}}\) (около \(54\) В, «полка» характеристики) \(R_{\max}\to0\), горения нет ни при каком резисторе. Физический смысл: резистор не даёт току неограниченно расти, но, если он слишком велик, ток получается меньше значения, при котором дуга удерживается.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.