Вертолёт вдесятеро больше

Вертолёт висит, потому что винт отбрасывает воздух вниз: сила тяги равна силе тяжести. Выразите мощность через вес и размеры, а потом сравните вертолёт и модель, учтя, как растут масса и площадь винта при увеличении размеров в \(k\) раз.

\(P_2=P_1\,k^{7/2}=30\text{ Вт}\cdot10^{3{,}5}\approx 9{,}5\cdot10^{4}\) Вт \(\approx 95\) кВт.

Что происходит. Висящий вертолёт стоит на месте относительно земли, значит, сила тяжести уравновешена силой, с которой воздух давит на винт. По третьему закону Ньютона она равна силе, с которой винт отбрасывает воздух вниз. Двигатель всё время разгоняет новые порции воздуха от покоя до скорости \(u\), поэтому его мощность — это кинетическая энергия, которую получает воздух за единицу времени. Главная идея — записать закон сохранения импульса и закон сохранения энергии для воздуха, прошедшего через винт, и сравнить вертолёт с моделью, пользуясь подобием.

Обозначения. \(m\) — масса вертолёта; \(S\) — площадь, омываемая винтом (сечение струи); \(u\) — скорость воздуха в струе под винтом; \(\rho\) — плотность воздуха; \(F\) — сила тяги; \(P\) — мощность, передаваемая воздуху. Индексом \(1\) отмечена модель, индексом \(2\) — настоящий вертолёт; \(k=L_2/L_1=10\) — во сколько раз вертолёт больше модели.

1. Тяга из закона сохранения импульса. За малое время \(dt\) винт пропускает массу воздуха \(dm=\rho S u\,dt\) и сообщает ей скорость \(u\) вниз (воздух над винтом покоится). Запишем закон изменения импульса для этой порции воздуха: сила, с которой винт действует на воздух, равна \(F=\dfrac{dm\,u}{dt}=\rho S u^{2}\). По третьему закону Ньютона воздух действует на вертолёт вверх с такой же силой, а вертолёт висит, поэтому \[\rho S u^{2}=mg\quad\Rightarrow\quad u=\sqrt{\frac{mg}{\rho S}} .\]

2. Мощность из закона сохранения энергии. Порция воздуха \(dm\) получает кинетическую энергию \(\dfrac{dm\,u^{2}}{2}\), которую в конечном счёте даёт двигатель. Значит, \[P=\frac{1}{2}\,\frac{dm}{dt}\,u^{2}=\frac12\,\rho S u^{3}=\frac12\,mg\,u=\frac12\,\frac{(mg)^{3/2}}{\sqrt{\rho S}} .\] Мощность растёт как \(m^{3/2}\) и убывает при росте \(S\).

3. Подобие. Вертолёты геометрически подобны и сделаны из одних материалов, поэтому масса пропорциональна объёму, \(m\propto L^{3}\), а площадь винта — квадрату размера, \(S\propto L^{2}\). Плотность воздуха и \(g\) одинаковы, и отношение мощностей в каждой формуле даёт один и тот же коэффициент (\(\tfrac12\) и коэффициент полезного действия при подобном обтекании сокращаются): \[\frac{P_2}{P_1}=\frac{m_2^{3/2}\,S_1^{1/2}}{m_1^{3/2}\,S_2^{1/2}}=k^{9/2}\,k^{-1}=k^{7/2}.\] Скорость струи растёт как \(u\propto\sqrt{mg/S}\propto L^{1/2}\): у большого вертолёта воздух приходится гнать быстрее.

4. Соберём ответ. \[P_2=P_1\,k^{7/2}=30\text{ Вт}\cdot10^{3{,}5}\approx 30\cdot 3162\text{ Вт}\approx 9{,}5\cdot10^{4}\text{ Вт}\approx 95\text{ кВт}.\]

Обратите внимание: нельзя считать мощность пропорциональной массе (это дало бы \(30\) кВт). Вертолёт тяжелее в \(10^{3}\) раз, и каждый килограмм приходится удерживать, отбрасывая воздух быстрее, чем у модели в \(\sqrt{10}\approx3{,}2\) раза; поэтому мощность растёт в \(10^{3}\cdot\sqrt{10}\) раз. Ответ верен как минимальная мощность при том же качестве винта и подобном обтекании; настоящая мощность двигателя ещё зависит от потерь.

Проверка. Размерность: \((mg)^{3/2}/\sqrt{\rho S}\) — (Н)\(^{3/2}\) / (кг/м\(^{3}\cdot\)м\(^{2}\))\(^{1/2}\) = Н\(\cdot\sqrt{\text{Н}\cdot\text{м}/\text{кг}}\) = Н\(\cdot\)м/с, то есть ватт. Второй способ: мощность на единицу массы \(P/m\propto u\propto L^{1/2}\), откуда \(P_2/P_1=k^{3}\,k^{1/2}=k^{7/2}\). Физический смысл: вертолёт вдесятеро больше модели весит в тысячу раз больше, а площадь винта — только в сто раз, поэтому воздуху надо сообщать большую скорость, и мощность на килограмм растёт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.