Сосчитай шарики

Пшено в коробочке занимает форму параллелепипеда; найдите его объём через угол опрокидывания коробочки, а число зёрен — через объём одного зерна и плотность упаковки.

1. Опыты с прозрачной коробочкой показывают, что пшено, являясь сыпучим веществом, при наклоне коробочки до некоторого угла сохраняет занимаемую им форму, а после превышения предельного угла лавинообразно пересыпается. Если установить коробочку под некоторым углом и интенсивно постучать по боковым стенкам, создав вибрацию, поверхность пшена оказывается параллельна горизонту. Если же стучать по коробочке вертикально, поверхность пшена не всегда оказывается параллельна горизонту.

2. Расположим непрозрачную коробочку вертикально и постучим по её боковым стенкам; пшено примет форму параллелепипеда. Установим коробочку на линейку и будем плавно увеличивать угол наклона линейки к горизонту. Нужен угол, при котором коробочка начнёт переворачиваться. Коробочка начинает соскальзывать с линейки раньше, чем переворачивается, так как трения о линейку недостаточно. Для решения проблемы прицепим к линейке скрепку так, чтобы она образовала небольшой упор. Так как скрепка тонкая, созданный ею упор не повлияет на моменты сил, но позволит коробочке не соскальзывать.

3. Повторим опыт с наклоном плоскости и убедимся, что коробочка начинает переворачиваться до того, как пшено внутри неё начинает пересыпаться. Это можно понять по звуку (когда пшено пересыпается, это слышно) или, использовав прозрачную коробочку, наклонив её на такой же угол. Для угла \(\alpha_1\), при котором начинается переворот коробочки, из уравнения моментов сил относительно правого нижнего угла коробочки получим \(h_{цм} = \dfrac{l}{2}\,\mathrm{ctg}\,\alpha_1\). Тогда уровень пшена в коробочке составляет \(h = 2h_{цм} = l\,\mathrm{ctg}\,\alpha_1\). Измерим ширину \(l = 47\) мм и глубину \(b = 39\) мм коробочки. Угол \(\alpha_1\) определяем через высоту конца линейки над столом \(H\) и длину линейки \(L = 25\) см. Для повышения точности опыты проводим несколько раз, увеличивая угол наклона плавно и медленно.

Результаты: \(H = 11{,}1\) см, \(\sin\alpha_1 = 0{,}430\), \(\mathrm{ctg}\,\alpha_1 = 2{,}10\); \(H = 10{,}6\) см, \(\sin\alpha_1 = 0{,}411\), \(\mathrm{ctg}\,\alpha_1 = 2{,}22\); \(H = 10{,}8\) см, \(\sin\alpha_1 = 0{,}419\), \(\mathrm{ctg}\,\alpha_1 = 2{,}17\). Среднее: \(\mathrm{ctg}\,\alpha_{1ср} = 2{,}16\), и \(h = l\cdot\mathrm{ctg}\,\alpha_{1ср} = 10{,}2\) см.

4. Объём, занимаемый пшеном в коробке: \(V = l b h = 4{,}7\cdot 3{,}9\cdot 10{,}2 \approx 187\) см\(^3\).

5. Чтобы узнать, сколько шариков входит в этот объём, есть два варианта: 1) измерить объём, занимаемый пшеном в прозрачной коробочке, и посчитать количество шариков (крупинок) в ней; 2) определить диаметр шарика и рассчитать плотность упаковки. Выберем второй путь.

6. Для измерения диаметра шарика выложим \(50\) шариков в ряд и измерим длину ряда (ряд формируем, согнув миллиметровку и насыпав шарики в место сгиба): \(L_р = 10{,}9\) см, \(N = 50\), тогда диаметр шарика \(D = \dfrac{L_р}{N} = 2{,}18\) мм, объём одного шарика \(V_ш = \dfrac{\pi}{6}D^3 \approx 0{,}54\) мм\(^3\).

7. Рассмотрим варианты плотной упаковки. Плотность упаковки \(k = \dfrac{V_0}{V_я}\), где \(V_0 = NV_ш\) — объём, занимаемый зёрнами, \(N\) — число зёрен, приходящихся на одну ячейку, \(V_я = a^3\) — объём ячейки. Объёмно-центрированная кубическая решётка: \(a\sqrt{3} = 2D\), \(N = 2\), \(k = \dfrac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0{,}68\). Гранецентрированная решётка: \(a\sqrt{2} = 2D\), \(N = 4\), \(k = \dfrac{\pi\sqrt{2}}{6} \approx 0{,}74\). Стандартная кубическая решётка: \(a = D\), \(N = 1\), \(k = \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}52\). Опыт, проведённый с заполнением пустот между зёрнами водой, показывает, что в реальности \(k = 0{,}62\).

8. Примем \(k = 0{,}6\). Объём, занимаемый одним зёрнышком, \(V_ш' = \dfrac{V_ш}{k} \approx 0{,}90\) мм\(^3\).

9. Количество шариков \(N_ш = \dfrac{V}{V_ш'} \approx 2\cdot 10^5\).

10. Оценка погрешности: \(\Delta\,\mathrm{ctg}\,\alpha_{1ср} = \dfrac{\sum|\mathrm{ctg}\,\alpha_i - \mathrm{ctg}\,\alpha_{ср}|}{3} = 0{,}04\); \(\Delta D = \dfrac{2\text{~мм}}{N} = 0{,}04\) мм; \(\Delta k = 0{,}1\). Относительная погрешность \(\varepsilon_{N_ш} = 3\dfrac{\Delta D}{D} + \dfrac{\Delta k}{k} + \dfrac{\Delta l}{l} + \dfrac{\Delta b}{b} \approx 0{,}27\), откуда \(\Delta N_ш \approx 0{,}5\cdot 10^5\). Окончательно: \(N_ш = (2{,}0 \pm 0{,}5)\cdot 10^5\).