Газировка

Наберите воду из только что открытой бутылки в шприц и встряхните его: растворённый газ выделится и соберётся над водой под поршнем. Уравнение состояния газа над водой и закон Генри связывают объём выделившегося газа с давлением в бутылке.

Часть 1. Откроем бутылку и аккуратно наберём из неё некоторое количество газировки (около \(5\) мл) в пустой шприц. Сразу же заткнём кончик шприца затычкой. Поскольку бутылка только что открыта, концентрация растворённого в ней углекислого газа соответствует давлению внутри бутылки (концентрация изменяется медленно). Теперь будем трясти шприц, помогая растворённому газу перейти в газообразное состояние; поршень шприца должен свободно перемещаться, обеспечивая равенство давления внутри шприца атмосферному. Спустя некоторое время (около \(10\) мин) концентрация растворённого углекислого газа придёт в соответствие атмосферному давлению, а его газообразные излишки соберутся над водой.

Для воды в бутылке \(\nu_0 = \alpha V_в P_{бут}\), где \(V_в\) — объём воды, набранной в шприц, \(P_{бут}\) — давление газа в бутылке, \(\nu_0\) — количество газа, растворённого в воде внутри бутылки. Для воды в шприце после достижения равновесия \(\nu_0 - \nu_г = \alpha V_в P_0\), где \(\nu_г\) — количество нерастворённого углекислого газа в шприце. Уравнение состояния идеального газа: \(P_0 V_г = \nu_г R T\), где \(V_г\) — объём нерастворённого газа в шприце. Отсюда \[P_{бут} = P_0\left(1 + \frac{V_г}{\alpha V_в R T}\right).\] Измерения: \(V_в = 4\) мл, \(V_г = 6\) мл. Тогда \[P_{бут} = 10^5\left(1 + \frac{6}{3{,}5\cdot 10^{-4}\cdot 4\cdot 8{,}31\cdot 300}\right) \approx 2{,}7\cdot 10^5~\text{Па}.\]

Часть 2. Для получения дополнительных точек зависимости количества растворённого газа от давления будем внутри шприца создавать другие давления (содержимое шприца осталось от первого эксперимента). Придерживая наконечник шприца, надавим на поршень с заметным усилием и будем потряхивать шприц около \(10\) мин, добиваясь равновесной концентрации растворённого газа. Затем определим объём, занимаемый газом, продолжая давить на поршень: \(V_г'\). Аккуратно отпустим поршень и сразу измерим объём газа под поршнем: \(V_г\). Так как между замерами \(V_г'\) и \(V_г\) прошло мало времени, концентрация растворённого в воде газа не успела измениться. Давление газа под сжатым поршнем получаем из уравнения состояния: \(P = P_0\dfrac{V_г}{V_г'}\).

По закону Генри \(\nu = \alpha V_в P\), тогда \(\Delta\nu = \alpha V_в \Delta P\). Для нашего опыта \(\Delta P = P - P_0 = P_0\left(\dfrac{V_г}{V_г'} - 1\right)\), а \(\Delta\nu = -\Delta\nu_г = -\dfrac{P_0 (V_г - V_{г0})}{RT}\), где \(V_{г0}\) — объём газа под поршнем при атмосферном давлении и при концентрации растворённого газа, соответствующей атмосферному давлению. Подставив в закон Генри, получим \[\frac{V_г}{V_в} = \alpha R T\left(1 - \frac{V_г}{V_г'}\right) + V_{г0}, \qquad V_г = -\alpha R T V_в\,\frac{V_г}{V_г'} + \text{const}.\] Проведём аналогичный опыт, только теперь будем вытягивать поршень шприца, создавая под ним давление меньше атмосферного. Построим график зависимости \(V_г\) от \(V_г/V_г'\) для трёх точек (атмосферному давлению соответствует точка \((V_{г0}; 0)\)).

Точки на графике лежат на прямой (см. рисунок), угловой коэффициент которой \(k = -3{,}58\) мл.

Из полученной теоретической зависимости \[\alpha = -\frac{k}{V_в R T} = \frac{3{,}58}{4\cdot 8{,}31\cdot 300}\ \frac{\text{моль}}{\text{Па}\cdot\text{м}^3} \approx 3{,}6\cdot 10^{-4}~\frac{\text{моль}}{\text{Па}\cdot\text{м}^3}.\] Оценим погрешность. Погрешность коэффициента \(k\) определим из графика по разности между минимальным и максимальным угловыми коэффициентами: \(\Delta k = \dfrac{8{,}2 - 2{,}7}{2} = 2{,}7\) мл. Относительная погрешность \(\varepsilon_\alpha = \dfrac{\Delta k}{k} + \dfrac{\Delta V_в}{V_в} = 87\,\%\). Учитывая теоретическую погрешность \(\alpha\), можно утверждать, что теоретическое значение соответствует экспериментальному.