Изучение теплового расширения

При открытой трубке глубину погружения определяет сжимающийся с остыванием воздух в трубке, при закрытой — растущая плотность воды; в обоих случаях объём погружённой части поплавка сохраняет подъёмную силу.

1.2) при остывании ареометр погружается, \(K_1=\alpha H_0\left(\dfrac{D}{d}\right)^2\); 2.2) при остывании ареометр всплывает, \(K_2=-\dfrac{V_0}{\rho_0 s}\dfrac{\Delta\rho}{\Delta t}\) (численные значения зависят от прибора).

Результаты измерений в данной задаче сильно зависят от параметров прибора, который используется в данной установке, поэтому кратко остановимся только на качественном описании наблюдаемых эффектов.

Часть 1. Открытая трубка.

При открытом нижнем конце трубки при ее опускании в горячую воду в трубке остается воздух. По мере остывание воды объем воздуха в трубке уменьшается – воды заходит в трубку снизу. При этом уменьшается сила Архимеда, действующая на поплавок. Поэтому поплавок начинает погружаться}! Пусть высота столбика воздуха в трубке уменьшилась на величину \(\Delta H\). При этом сила Архимеда также уменьшится на величину

\[\Delta F_A = \rho g \Delta V = \rho g S \Delta H,\tag{1}\]

Здесь \(S\) - площадь поперечного сечения трубки, \(\rho\) - плотность воды. Этому уменьшение выталкивающей силы должно компенсироваться увеличением силы Архимеда вследствие погружения стержня 4 (вместе с поплавком) на величину

\[\Delta F_A = \rho g s \Delta h\tag{2}\]

Здесь \(s\) - площадь поперечного сечения стержня. Приравнивая эти выражение, получим

\[\Delta h = \frac{S}{s} \Delta H = \left( \frac{D}{d} \right)^2 \Delta H,\tag{3}\]

Где \(D, d\) - диаметры трубки и стержня, соответственно. Проще эту формулу получить из условия того, что объем погруженной части поплавка в состоянии равновесия остается неизменным.

Величина \(\Delta H\) связана с изменением температуры соотношением

\[\Delta H = H_0 (1 + \alpha \Delta t).\tag{4}\]

Где \(\alpha\) - коэффициент теплового расширения воздуха. Следовательно, зависимость \(\Delta h\) глубины погружения от температуры линейная. Коэффициент наклона этой зависимости равен

\[K_1 = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \alpha H_0 \left( \frac{D}{d} \right)^2.\tag{5}\]

По экспериментальному значению этого коэффициента наклона можно рассчитать коэффициент теплового расширения воздуха. Отметим, что при изменении температуры изменяется и плотность воды. Но так как коэффициент теплового расширения воздуха значительно больше коэффициента теплового расширения воды, то последним можно пренебречь.

Часть 2. Закрытая трубка.

Когда трубка закрыта, объем поплавка можно считать неизменным (тепловое расширение твердых тел еще меньше, чем тепловое расширение воды). Поэтому основным фактором, влияющим на положение поплавка, является изменение плотности воды. Так как при остывании плотность воды возрастает, то в этом эксперименте поплавок всплывает}! Учитывая постоянство силы Архимеда (численно равное весу поплавка), можно записать

\[(\rho_0 + \Delta \rho) g (V_0 + \Delta V) = \rho_0 g V_0\tag{6}\]

Откуда следует

\[\Delta \rho V_0 + \rho_0 s \Delta h = 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta h = -\frac{V_0}{\rho_0 s} \Delta \rho\tag{7}\]

Здесь \(s \Delta h = \Delta V\) - изменение объема погруженной части поплавка. Таким образом, коэффициент наклона зависимости глубины погружения от температуры в данном случае равен

\[K_2 = \frac{\Delta h}{\Delta t} = -\frac{V_0}{\rho_0 s} \frac{\Delta \rho}{\Delta t}\tag{2}\]

И определяется изменением плотности воды при изменении температуры.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.