Коэффициент трения

Первый коэффициент даёт тангенс угла наклона доски, при котором брусок начинает скользить. Для второго положите шарик на брусок со стороны верха наклона: он прижимает брусок, и угол начала скольжения меньше; составьте баланс моментов шарика и сил, действующих на брусок.

1) \(\mu_1=\operatorname{tg}\alpha_1\approx0{,}24\);  2) \(\mu=\dfrac{m/M+1-\mu_2\operatorname{ctg}\beta}{\mu_2(\operatorname{ctg}\beta+m/M)-1}\approx0{,}2\) (измерения организаторов: \(\operatorname{tg}\beta\approx0{,}12\)).

1) Это прямой вопрос: измеряем тангенс угла наклона доски, при котором брусок начинает скользить, \(\mu_1=\operatorname{tg}\alpha_1\); для данной установки \(\mu_1\approx0{,}24\).

2) Кладём шарик и брусок вместе на наклонную доску, так, чтобы шарик касался и бруска, и доски и находился выше по склону. Тогда шарик давит на брусок вниз, и скольжение ожидается при несколько меньших углах наклона. Для данной установки этот критический угол оказывается таким, что \(\operatorname{tg}\beta\approx0{,}12\).

Теперь нужно выразить \(\mu\), зная \(\mu_2\approx0{,}24\) и \(\beta=\operatorname{arctg}0{,}12\). Сначала запишем баланс моментов для шарика относительно точки его касания с доской: \(mgR\sin\beta=\mu NR+NR\), где \(N\) — сила давления между шариком и бруском. Отсюда \(N=\dfrac{mg}{\mu+1}\sin\beta\).

Теперь воспользуемся балансом сил для бруска в направлении, нормальном к доске, чтобы найти силу давления между доской и бруском: \(N_2=Mg\cos\beta+\dfrac{\mu mg}{\mu+1}\sin\beta\). Наконец, баланс сил для бруска в направлении касательной: \[\frac{mg}{\mu+1}\sin\beta+Mg\sin\beta=\mu_2g\left(M\cos\beta+\frac{\mu m}{\mu+1}\sin\beta\right).\] Это уравнение можно упростить до \[\frac mM+\mu+1=\mu_2\left[(\mu+1)\operatorname{ctg}\beta+\mu\frac mM\right],\] откуда \[\mu=\frac{\dfrac mM+1-\mu_2\operatorname{ctg}\beta}{\mu_2\left(\operatorname{ctg}\beta+\dfrac mM\right)-1}.\] Подставляя измеренные значения, получаем \(\mu\approx0{,}2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.