Карандаш

Если нажимать на карандаш вдоль оси, реакция и трение в точке касания тоже направлены вдоль оси, а это возможно, пока тангенс угла наклона не превышает коэффициента трения.

Поставим карандаш графитовым концом на горизонтальный лист бумаги и будем давить на другой конец кончиком пальца (не зажимая между пальцами и тем самым, возможно, не создавая для него момента). Тогда внутри карандаша возникнет чисто продольное напряжение (изгиба карандаша нет). Если нажимать достаточно сильно, можно пренебречь весом карандаша в балансе моментов относительно кончика пальца. Итак, равновесие означает, что равнодействующая сил трения и реакции на графитовом конце направлена вдоль оси карандаша. Это возможно, если \(\tan\alpha\le\mu\), где \(\alpha\) — угол между карандашом и вертикалью. Поэтому будем увеличивать \(\alpha\), продолжая давить на карандаш, и определим положение \(\alpha_0\), при котором карандаш начинает скользить; \(\tan\alpha_0\) можно вычислить как \(\tan\alpha_0=x/\sqrt{l^2-x^2}\), где \(l\) — длина карандаша, а \(x\) — длина проекции карандаша на горизонтальную плоскость.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.