Остывание чая в термосе

Между стенками колбы остался такой разреженный воздух, что молекулы летят от стенки к стенке без столкновений друг с другом. Сколько молекул в секунду попадает на единицу площади стенки и какую энергию каждая переносит от горячей стенки к холодной?

\(t\approx\dfrac{cm}{3R\Gamma S}\ln\dfrac{T_1-T_0}{T_2-T_0}\approx 2\cdot10^{4}\) с \(\approx5{,}5\) ч (порядок величины — несколько часов).

Что происходит. Воздуха между стенками почти нет, поэтому молекулы почти не сталкиваются друг с другом, а летают от стенки к стенке. Молекула, ударившись о горячую стенку, уходит с ней в тепловом равновесии и уносит больше энергии, чем в среднем несёт молекула от холодной стенки. Каждый такой перелёт — перенос теплоты. Скорость остывания чая определяется числом молекул, ударяющихся о стенку, и энергией, которую каждая переносит. Главная идея — считать поток молекул на стенку из кинетической теории газа, а затем решить уравнение остывания.

Обозначения. \(T_1\) — температура чая, \(T_0=293\) К — комнатная температура (стенки снаружи и газ при ней), \(T_2\) — конечная температура чая; \(M=29\) г/моль — молярная масса воздуха; \(\Gamma\) — число молей, падающих на единицу площади стенки за единицу времени; \(m=1\) кг — масса чая (\(1\) литр воды).

1. Режим. Длина свободного пробега при \(p\approx1\) Па (\(10^{-5}\) атм \(\approx1{,}0\) Па) и \(T_0=293\) К равна \(\lambda=\dfrac{kT_0}{\sqrt2\,\pi d^{2}p}\approx7\) мм (\(d\approx3{,}7\cdot10^{-10}\) м). Это порядка зазора между стенками колбы (миллиметры), поэтому считаем: молекулы летают от стенки к стенке свободно, и теплопередача определяется только ударами о стенки. Давление и сравнение с зазором — допущение оценки.

2. Поток молекул на стенку. Из кинетической теории газа число молекул, падающих на единицу площади за единицу времени, равно \(\dfrac{n\bar v}{4}\), где \(\bar v=\sqrt{\dfrac{8RT_0}{\pi M}}\) — средняя скорость, \(n=\dfrac{p}{kT_0}\). В молях (молекулы поделены на число Авогадро) \[\Gamma=\frac{p}{\sqrt{2\pi M R T_0}}=\frac{1{,}0}{\sqrt{2\pi\cdot0{,}029\cdot8{,}3\cdot293}}\ \frac{\text{моль}}{\text{м}^{2}\cdot\text{с}}\approx4{,}8\cdot10^{-2}\ \frac{\text{моль}}{\text{м}^{2}\cdot\text{с}} .\] В стационарном состоянии стенка не поглощает газ, поэтому молекул, отлетающих от горячей стенки, столько же, сколько прилетающих на неё от холодной: поток \(\Gamma\) в обе стороны одинаков.

3. Энергия, переносимая одним молем. Молекула, ударившись о стенку, вылетает с распределением по скоростям, отвечающим температуре стенки. Через единицу площади в единицу времени уходят быстрые молекулы с большей вероятностью, поэтому поступательная энергия на одну вылетающую молекулу равна \(2kT\) (а не \(\tfrac32kT\)). Воздух двухатомный, и вращательная энергия добавляет \(kT\). Итого на один моль, вылетающий от стенки температуры \(T\), приходится энергия \(3RT\). Предполагаем, что молекулы полностью приходят в тепловое равновесие со стенкой при каждом ударе. Тогда суммарный поток энергии от чая (температура \(T_1\)) к холодной стенке: \[q=\Gamma\cdot 3R\,(T_1-T_0).\] Обратите внимание: давление в оценке — давление при комнатной температуре: именно по нему определён поток \(\Gamma\) на комнатную стенку, и такой же поток уходит от горячей. Излучением стенок (они серебряные) и теплопроводностью по стеклу пренебрегаем.

4. Уравнение остывания. Тепловая мощность потерь через всю поверхность \(S\) равна \(P=\alpha\,(T_1-T_0)\), где \[\alpha=3R\,\Gamma S=3\cdot8{,}3\cdot4{,}8\cdot10^{-2}\cdot6\cdot10^{-2}\ \frac{\text{Вт}}{\text{К}}\approx7{,}2\cdot10^{-2}\ \frac{\text{Вт}}{\text{К}}.\] Рассмотрим малый промежуток \(dt\): чай отдаёт теплоту, и его температура падает на \(dT\): \[-cm\,dT=\alpha\,(T-T_0)\,dt\quad\Rightarrow\quad \frac{dT}{T-T_0}=-\frac{\alpha}{cm}\,dt .\] Суммируем от начала (\(T_1=363\) К) до конца (\(T_2=343\) К, время \(t\)): \[\ln\frac{T_1-T_0}{T_2-T_0}=\frac{\alpha}{cm}\,t\quad\Rightarrow\quad t=\frac{cm}{\alpha}\ln\frac{70}{50}.\]

5. Число. \[\frac{cm}{\alpha}=\frac{4{,}2\cdot10^{3}}{7{,}2\cdot10^{-2}}\text{ с}\approx5{,}8\cdot10^{4}\text{ с},\qquad t\approx5{,}8\cdot10^{4}\cdot0{,}336\text{ с}\approx2\cdot10^{4}\text{ с}\approx5{,}5\text{ ч}.\] Как оценка — несколько часов; вакуум в \(10^{-5}\) атм задерживает тепло заметно хуже, чем идеальный (при давлении в сто раз меньше время выросло бы в сто раз).

Проверка. Размерность: \(\Gamma R S\) — (моль/(м\(^{2}\cdot\)с))\(\cdot\)(Дж/(моль\(\cdot\)К))\(\cdot\)м\(^{2}\) = Вт/К, а \(cm/\alpha\) — (Дж/К)/(Вт/К) = с. Время обратно пропорционально давлению \(p\) (поток \(\Gamma\propto p\)): чем лучше откачан термос, тем он дольше держит тепло, и при \(p\to0\) время растёт неограниченно (остаются излучение и пробка, которые мы отбросили). Прикидка по порядку величины другим способом: за секунду стенка получает \(\Gamma S\approx2{,}9\cdot10^{-3}\) моль, то есть около \(1{,}7\cdot10^{21}\) молекул; каждая уносит \(3k\cdot60\text{ К}\approx2{,}5\cdot10^{-21}\) Дж, и мощность потерь около \(4\) Вт при \(\Delta T=60\) К, что даёт \(\alpha\approx0{,}07\) Вт/К, как выше.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.