Температура электронов в неоне

Рассмотрим столкновение свободного электрона с атомом газа. Будем считать, что электрон до столкновения движется с некоторой характерной скоростью \(v\), атом покоится, и что столкновение лобовое и абсолютно упругое (по условию акты ионизации атомов неона происходят очень редко). Тогда законы сохранения импульса и энергии можно записать в виде: \[m_ev = m_ev' + Mu',\qquad\dfrac{m_ev^2}{2} = \dfrac{m_ev'^2}{2} + \dfrac{Mu'^2}{2},\] где \(v'\) и \(u'\) — скорости электрона и атома после столкновения. Отсюда \[v' = \dfrac{m_e - M}{m_e + M}v\] (после столкновения намного более лёгкий электрон изменяет направление своего движения), и уменьшение кинетической энергии электрона при лобовом столкновении составляет \[\Delta W = \dfrac{m_e(v^2 - v'^2)}{2} = \dfrac{m_ev^2}{2}\cdot\dfrac{4Mm_e}{(m_e + M)^2} \approx \dfrac{m_ev^2}{2}\cdot\dfrac{4m_e}{M} \ll \dfrac{m_ev^2}{2}.\] Последнее неравенство означает, что скорость движения электрона между соударениями изменяется в очень небольших пределах, то есть всё время близка к \(v\). Таким образом, можно считать, что \(v\) — это средняя скорость хаотического движения электронов в плазме газового разряда. Поскольку при нелобовых соударениях уменьшение кинетической энергии электрона будет, очевидно, лежать в пределах от 0 до \(\Delta W\), то можно считать, что среднее уменьшение кинетической энергии электрона при столкновении с атомом неона составляет \[\dfrac{\Delta W}{2} \approx \dfrac{m_ev^2}{2}\cdot\dfrac{2m_e}{M}.\] Будем считать, что между ударами электрон движется под действием электрического поля равноускоренно с ускорением \(a = eE/m_e\) в течение промежутка времени \(\tau = l/v\). Тогда за это время электрическое поле совершает над электроном работу \[\Delta A = eE\cdot\dfrac{a\tau^2}{2} = \dfrac{(eEl)^2}{2m_ev^2}.\] В установившемся режиме среднее уменьшение кинетической энергии электрона \(\dfrac{\Delta W}{2}\), происходящее при соударении, должно на каждом интервале между соударениями компенсироваться работой \(\Delta A\) сил электрического поля: \[\dfrac{m_ev^2}{2}\cdot\dfrac{2m_e}{M} = \dfrac{(eEl)^2}{2m_ev^2}.\] Отсюда средняя кинетическая энергия движения электронов \[W = \dfrac{m_ev^2}{2} = \dfrac{|e|El}{2\sqrt2}\sqrt{\dfrac{M}{m_e}}.\] Соответствующая этой энергии «температура» электронов может быть оценена при помощи соотношения \(W \sim \dfrac{3}{2}kT_e\), откуда \[T_e \sim \dfrac{|e|El}{3\sqrt2\,k}\sqrt{\dfrac{M}{m_e}} \approx 5{,}6\cdot 10^4\text{ К}.\]