Блёстки на снегу

Будем считать, что среднее расстояние между центрами граней соседних кристаллов снега \(l \sim d\). На каждый из кристаллов падает свет Солнца в пределах угла \(\varphi = 0{,}5^\circ \approx 0{,}01\) рад. При этом кристалл отражает свет одной из своих граней в телесный угол \(\omega \sim \pi\varphi^2/4\). Так как кристаллы расположены на поверхности хаотически, то отражённый пучок может быть направлен произвольно в пределах телесного угла \(\Omega = 4\pi\), то есть в один глаз попадает свет, отражённый от одной из \(N_1 = \Omega/\omega \sim 16/\varphi^2 = 16\cdot 10^4\) граней. Если же смотреть на снег двумя глазами, то хотя бы в один из них попадёт свет, отражённый от одной из \(N_2 = N_1/2 = 8\cdot 10^4\) граней.

Для оценки расстояния между соседними кристаллами, свет от которых попадает в один глаз, будем считать, что все \(N_1\) отражающих граней равномерно распределены по поверхности. Тогда на единицу длины на этой поверхности приходится \(n_1 \sim \sqrt{N_1}\) отражающих граней, а среднее расстояние между гранями, отражающими свет в нужном направлении, составляет \(D_1 \sim ln_1 \sim d\sqrt{N_1} \sim 4d/\varphi \approx 40\) см. Аналогично для случая, когда на снег смотрят двумя глазами, \(D_2 \sim d\sqrt{N_2} \sim 2\sqrt2\,d/\varphi \approx 28\) см. Полученные результаты являются, конечно, довольно грубыми оценками.

Интересно ответить ещё на один вопрос: на какое расстояние нужно переместить голову для того, чтобы одна блёстка, которую видит глаз, исчезла, а вместо неё появилась другая, в другом месте? Очевидно, что это расстояние определяется диаметром светового пятна, получающегося вблизи глаза при отражении света Солнца от снежинки. Если мы смотрим на снег стоя с расстояния \(L \sim 2\) м, то диаметр этого пятна примерно равен \(L\varphi \sim 2\) см, что примерно в 10 раз больше диаметра зрачка глаза, так что оценка искомого расстояния как раз и составляет около 2 см.