Холмс выбирает костюм

Холмс не увидел в зеркале пола, значит, луч, идущий от низа ботинок и попавший в глаз, отразился от нижнего края зеркала, а до отражения шёл горизонтально на очень малой высоте над полом. Это возможно, только если плоскость зеркала составляет некий угол \(\varphi\) с вертикалью. Исходя из этого построим изображение Холмса \(AB\) и цилиндра \(BC\) в зеркале (рис. 221). Изображение \(B'C'\) цилиндра образует угол \(2\varphi\) с вертикалью, следовательно, \[x = h\cos2\varphi = h\cdot\dfrac{1 - \operatorname{tg}^2\varphi}{1 + \operatorname{tg}^2\varphi}.\qquad (265)\]

Для нахождения угла \(\varphi\) рассмотрим дополнительно положение, когда Холмс перестал видеть себя ниже уровня глаз (рис. 222), отойдя от зеркала на расстояние \(L = nl\), где \(l\) — расстояние от него до зеркала в первом случае. Во втором положении луч, идущий от глаза и попавший в глаз, отразился от нижнего края зеркала, так как в противном случае Холмс увидел бы своё изображение ниже уровня глаз. Поскольку этот луч возвращается в исходную точку, он перпендикулярен зеркалу. Пусть \(H\) — высота глаз Холмса над уровнем пола, тогда из геометрических соображений в первом и втором положениях выражаем \[\dfrac{H}{l} = \operatorname{tg}2\varphi = \dfrac{2\operatorname{tg}\varphi}{1 - \operatorname{tg}^2\varphi},\qquad \operatorname{tg}\varphi = \dfrac{H}{L} = \dfrac{H}{nl},\] откуда \[\operatorname{tg}^2\varphi = 1 - \dfrac{2}{n}.\]

Подставив это выражение в формулу (265), находим \[x = \dfrac{h}{n - 1} = 15\text{ см}.\]