Облако галактик

1. Запишем преобразования Галилея для координат и скоростей при переходе в систему отсчёта \(j\)-й галактики: \[\vec r_i = \vec r_j + \vec r_i',\qquad \vec v_i = \vec v_j + \vec v_i'.\] Подставив эти выражения в формулу \(\vec v_i = H\vec r_i\) и использовав равенство \(\vec v_j = H\vec r_j\), получим \[\vec v_i' = H\vec r_i'.\] Таким образом, картина разлёта галактик не зависит от точки наблюдения.

2. Рассмотрим произвольную галактику, входящую в скопление. Обозначим через \(m\) её массу, а через \(r\) — расстояние от неё до центра скопления. В силу сферической симметрии скопления направление вектора \(\vec r\) не играет роли. Галактики, расположенные на расстояниях больше \(r\) от центра скопления, образуют шаровой слой, который, как известно, не создаёт гравитационного поля внутри своей полости. Таким образом, следует учитывать только взаимодействие с галактиками, которые расположены внутри шара радиусом \(r\). Их общая масса \(M = \rho_0\cdot4\pi r^3/3\). Найдём полную энергию рассматриваемой галактики: \[E = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}} = \dfrac{m(Hr)^2}{2} - \dfrac{GMm}{r}.\] Движение галактики будет финитным (то есть она не удалится на бесконечность, а повернёт обратно), если \(E < 0\), откуда после подстановки выражения для \(M\) получаем \[\rho_0 > \dfrac{3H^2}{8\pi G}.\] 3. Аналогично предыдущему пункту рассмотрим одну из крайних галактик, которая будет в этом случае взаимодействовать со всем скоплением массой \(M_0 = \rho_0\cdot4\pi r_0^3/3\). Применим закон сохранения полной энергии для этой галактики между начальным и максимально удалённым положениями: \[\dfrac{m(Hr_0)^2}{2} - \dfrac{GM_0m}{r_0} = 0 - \dfrac{GM_0m}{r_{\max}},\] откуда \[r_{\max} = \dfrac{r_0}{1 - \dfrac{3H^2}{8\pi G\rho_0}}.\] 4. Движение отдельной галактики можно рассматривать как движение вдоль вырожденного в отрезок эллипса, один из фокусов которого совпадает с центром скопления и концом отрезка, а второй конец отрезка — это максимально удалённое положение галактики. В соответствии с третьим законом Кеплера период \(T\) обращения одной из крайних галактик по такому эллипсу будет равен периоду её движения по окружности радиусом \(r_{\max}/2\). Применим второй закон Ньютона для движения по этой окружности: \[m\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2\dfrac{r_{\max}}{2} = \dfrac{GM_0m}{(r_{\max}/2)^2},\] откуда \[T = \sqrt{\dfrac{3\pi}{8G\rho_0}}\left(\dfrac{r_{\max}}{r_0}\right)^{3/2}.\] Возврат галактики от \(r = r_{\max}\) до \(r \approx 0\) произойдёт за время \[\tau = \dfrac{T}{2} = \dfrac14\sqrt{\dfrac{3\pi}{2G\rho_0}}\left(1 - \dfrac{3H^2}{8\pi G\rho_0}\right)^{-3/2}.\]