Тяготение

Если перенести малый кусок грунта из одной точки поверхности в другую, ускорение в выбранной точке меняется; на оптимальной форме такой перенос не должен менять модуль \(\vec g\) в первом порядке.

1) \(g_0=\gamma M\left(\dfrac{4\pi\rho}{3M}\right)^{2/3}\);  2) да;  3) \(l=l_0\sqrt{\cos\varphi}\).

1) \(g_0=\gamma M/R^2\), где \(R\) находится из соотношения \(\frac43\pi R^3\rho=M\). Следовательно, \[g_0=\gamma M\left(\frac{4\pi\rho}{3M}\right)^{2/3}.\]

2) Если взять кусок грунта в какой-либо точке поверхности планеты и перенести его в другую точку, то ускорение свободного падения изменится (знак изменения зависит от направления переноса).

3) Возьмём полярные координаты с началом в той точке, где ускорение свободного падения должно быть максимальным. Пусть ось \(\varphi=0\) задаётся направлением вектора ускорения. Перенос малого куска грунта из точки \((r_1,\varphi_1)\) в другую точку \((r_2,\varphi_2)\) должен сохранять модуль вектора ускорения \(\vec g\) постоянным, то есть вектор малого изменения должен быть перпендикулярен вектору \(\vec g\). Следовательно, \(\cos\varphi_1/l_1^2=\cos\varphi_2/l_2^2\), откуда \(l=l_0\sqrt{\cos\varphi}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.