Волейбольный мяч

Сила на пластину — это избыточное давление, умноженное на площадь круга касания; при \(h\ll R\) она пропорциональна \(h\), и мяч ведёт себя как пружина.

1) \(N=\Delta p\,\pi h(2R-h)\approx120\) Н;  2) \(h_m\approx11\) мм;  3) \(\tau\approx18\) мс;  4) дополнительного ограничения не требуется.

1) \(F=\Delta p\,S\), где \(S=\pi r^2\) — площадь основания сегмента. Легко видеть, что \(r^2=(2R-h)h\), поэтому \(F=\Delta p\,\pi h(2R-h)\approx120\) Н.

2) При соударении мяч деформируется так, как показано на рисунке: оболочка нерастяжима, поэтому сохраняет сферическую форму (кроме области касания со стеной). В приближении \(h\ll R\) слагаемым \(h^2\) в выражении для силы можно пренебречь. Тогда сила пропорциональна \(h\), то есть мяч ведёт себя как пружина жёсткости \(k=2\pi R\,\Delta p\). По закону сохранения энергии \(mv^2=2\pi R\,\Delta p\,h^2\), откуда \[h=v\sqrt{\frac{m}{2\pi R\,\Delta p}}\approx11\text{ мм}.\]

3) Это половина периода гармонических колебаний: \[\tau=\pi\sqrt{\frac{m}{2\pi R\,\Delta p}}=\sqrt{\frac{\pi m}{2R\,\Delta p}}\approx18\text{ мс}.\]

4) Перейдём в систему отсчёта, связанную с мячом. На элемент оболочки \(dS\) действует сила инерции \(dF_i=a\,m\,dS/(4\pi R^2)\), где \(a=\Delta p\,\pi h(2R-h)/m\). Таким образом, \(dF_i=\Delta p\,h(2R-h)\,dS/(4R^2)\). Чтобы сохранялась сферическая форма, эта сила должна компенсироваться силой от избыточного давления \(dF_r=\Delta p\,dS\), следовательно, \(h(2R-h)<4R^2\). Это условие выполняется всегда, дополнительных ограничений не нужно. Заметим, что мы рассмотрели лишь наихудший случай, требующий наибольшей компенсирующей силы, — когда сила инерции направлена по нормали к поверхности.

Замечание. Случай растяжимой оболочки совершенно иной: сферичность пропадает по всей поверхности (попробуйте прижать воздушный шарик к стеклу!).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.