Задачи › Сила Лоренца, движение частиц в магнитном поле

Заряженная частица

  1. Заряженная частица

    NBPhO 2002/03, заключительный этап, 11 кл. · №25705
    7/10PDF: условиес решением

    Частица массы \(m\) и заряда \(q\) находится в однородном магнитном поле с индукцией \(B\) (вектор параллелен оси \(z\)). Характерное время системы — циклотронный период частицы \(T_B=2\pi m/(Bq)\). Система расположена между двумя параллельными электродами, с помощью которых можно создавать однородное электрическое поле \(E\), параллельное оси \(x\). (12 баллов)

    1. Частица покоится. В момент времени \(t=0\) включается электрическое поле \(E\); через малый промежуток времени \(\tau\) (\(\tau\ll T_B\)) оно снова выключается. Какой будет траектория частицы?

    2. Пусть \(p_x\) и \(p_y\) — \(x\)- и \(y\)-компоненты импульса частицы. Изобразите траекторию частицы в плоскости \((p_x,p_y)\) и укажите векторы импульса для моментов времени \(t_n=nT_B/4\) (\(n=1,2,3\) и \(4\)).

    3. Рассмотрим случай, когда включение и выключение электрического поля происходит периодически, начиная с \(t=0\), через равные промежутки времени \(\Delta t=T_B/4\). Изобразите траектории частицы в плоскостях \((p_x,p_y)\) и \((x,y)\).

    4. Пусть период мал, \(\Delta t\ll T_B\) (но всё же намного больше длительности импульса, \(\Delta t\gg\tau\)). Покажите, что после \(n\)-го импульса (в момент времени \(t_n=n\Delta t\)) импульс частицы можно представить как сумму \(n\) векторов \(\vec p_i\), у которых все составляющие векторы равны по модулю (модуль не зависит от \(n\)), а соседние векторы (\(\vec p_i\) и \(\vec p_{i+1}\), \(i=1,2,\ldots\)) образуют между собой равные углы.

    5. Рассмотрим предельный случай \(\Delta t\to0\), при котором \(E\tau/\Delta t\to E_k\) (\(E_k\) обозначает среднее по времени электрическое поле). Изобразите траекторию частицы в плоскости \((p_x,p_y)\) и выразите среднюю скорость частицы (в векторном виде; усреднённую по циклотронному периоду) через величины \(E_k\) и \(B\).

    6. Вернёмся к ненулевым (но по-прежнему малым, \(\Delta t\ll T_B\)) промежуткам времени. Рассмотрим случай, когда импульсы имеют переменную полярность: при \(2n\)-м импульсе электрическое поле равно \(+E\), а при \((2n+1)\)-м равно \(-E\). Найдите среднюю скорость частицы (в векторном виде), усреднённую по циклотронному периоду.

    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Короткий импульс поля сообщает частице импульс \(Eq\tau\) вдоль \(x\), а затем импульс частицы просто вращается в плоскости \((p_x,p_y)\) с циклотронной частотой; складывайте повёрнутые импульсы как векторы.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    1) окружность радиуса \(R=E\tau/B\);  5) \(v_x=0\), \(v_y=E_k/B\);  6) \(v_x=v_y=0\) (при усреднении по всем моментам времени).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    1) Частица приобретает скорость \(v=Eq\tau/m\) и начинает двигаться по окружности радиуса \(R\), где \(mv^2/R=Bvq\), откуда \(R=E\tau/B\).

    2) См. рисунок (на нём цифрами 1–4 отмечены векторы импульса в моменты \(t_n\)).

    Рисунок

    3) См. рисунки (слева — траектория в плоскости \((p_x,p_y)\), справа — в плоскости \((x,y)\)).

    Рисунок

    4) Рассмотрим векторную сумму импульсов, сообщённых частице в разные моменты времени. За промежуток времени \(\Delta t\) все составляющие векторы поворачиваются на угол \(2\pi\Delta t/T_B=\Delta t\,Bq/m\). Таким образом, с каждым импульсом добавляется вектор \(\vec P\) с модулем \(P=Eq\tau\); угол между последним добавленным вектором и предыдущим добавленным вектором равен \(\alpha=\Delta t\,Bq/m\).

    5) Все эти векторы, будучи сложены по правилу треугольника, образуют окружность радиуса \(\mathcal R=P/\sin\alpha\to P/\alpha=E_k m/B\).

    Рисунок

    Следовательно, средняя скорость \(v_y=-\mathcal R/m=E_k/B\), \(v_x=0\).

    6) Два последовательных импульса вдоль оси \(x\) дают результирующий импульс вдоль оси \(y\): \(P_y=P\alpha\). Последовательность таких пар импульсов образует (почти) окружность (на самом деле — правильный равносторонний многоугольник), составленную из векторов (с модулем \(P_y\)), угол между которыми равен \(2\alpha\) (см. рисунок). Радиус окружности равен \(P_y/2\alpha=P/2=\frac12 Eq\tau\), а координаты её центра: \(mv_x=-Eq\tau/2\), \(mv_y=0\). После чётного числа импульсов конец вектора импульса частицы лежит на этой окружности. Таким образом, при усреднении по моментам времени \(2n\Delta t\) средняя скорость \(v_x=-Eq\tau/2m\).

    Для нечётного числа импульсов нужно добавить последний сообщённый импульс \(\vec P=(Eq\tau,0)\); получается аналогичная окружность, только центр сдвинут на \(\vec P\): координаты центра \(mv_x=Eq\tau/2\), \(mv_y=0\). Соответственно, при усреднении по моментам времени \(2n\Delta t\) средняя скорость \(v_x=+Eq\tau/2m\). При усреднении по всем моментам времени окончательный результат \(v_x=v_y=0\).

    Рисунок

    На рисунке показан результирующий импульс \(P_{\text{res}}\) после \(2n\)-го импульса, а также результирующий импульс \(P'_{\text{res}}\) для другого момента времени \(2n'\Delta t\) (на рисунке — \(P_1\), \(P_2\), \(P_{2n}\) — составляющие векторы). Для нечётного числа импульсов картина точно такая же, только все векторы имеют противоположное направление (поскольку последняя добавленная составляющая, вертикальный вектор, направлена противоположно).

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиСкопировать ссылкуНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх