Заряд в среде с магнитным полем

Не решайте уравнение движения целиком: запишите второй закон Ньютона для малого промежутка времени и сложите по всему движению. Сила сопротивления даст слагаемое вдоль перемещения, сила Лоренца — слагаемое, перпендикулярное ему.

\(s_2=\dfrac{2s_0s_1}{\sqrt{s_0^2+3s_1^2}}=\dfrac{30}{\sqrt{13}}\text{ см}\approx8{,}3\text{ см}.\)

Что происходит. Сила сопротивления \(-\beta\vec v\) тормозит частицу, сила Лоренца изгибает траекторию в спираль, но работы не совершает. Главная идея — не искать траекторию: оба слагаемых силы пропорциональны малому перемещению \(d\vec r=\vec v\,dt\), поэтому суммируются в перемещение от точки входа до остановки. Модель: поле однородно и перпендикулярно плоскости, в которой лежит начальная скорость, значит, движение плоское.

Обозначения. \(m\), \(q\) — масса и заряд частицы, \(\beta\) — коэффициент сопротивления, \(\vec v_0\) — начальная скорость, \(\vec s\) — вектор перемещения от точки входа до точки остановки, \(B\) — индукция поля.

1. Среда без поля. Запишем второй закон Ньютона для частицы за малый промежуток \(dt\): \(m\,d\vec v=-\beta\vec v\,dt=-\beta\,d\vec r\). Сложим по всему движению, от входа до остановки (скорость от \(\vec v_0\) до нуля): \[-m\vec v_0=-\beta\vec s_0 \quad\Rightarrow\quad s_0=\frac{mv_0}{\beta}=10\text{ см}.\] Траектория — отрезок прямой, перемещение равно пути.

2. Среда с полем. Добавляется сила Лоренца \(q\vec v\times\vec B\), и за время \(dt\) она даёт \(q\,\vec v\,dt\times\vec B=q\,d\vec r\times\vec B\). Закон из пункта 1 принимает вид \(m\,d\vec v=-\beta\,d\vec r+q\,d\vec r\times\vec B\). Сложим по всему движению, величины \(\beta\), \(q\), \(\vec B\) постоянны: \[m\vec v_0=\beta\vec s-q\,\vec s\times\vec B.\] Вектор \(\vec s\) лежит в плоскости движения, \(\vec B\) перпендикулярен этой плоскости, поэтому \(\vec s\times\vec B\perp\vec s\), а его модуль равен \(sB\). Слагаемые правой части взаимно перпендикулярны, и модуль суммы находится по теореме Пифагора (рисунок): \[m v_0=s\sqrt{\beta^2+q^2B^2} \quad\Rightarrow\quad s=\frac{mv_0}{\sqrt{\beta^2+q^2B^2}}.\]

3. Подстановка данных. По пункту 1 \(\beta=mv_0/s_0\). Для поля \(B\) получаем \(\dfrac1{s_1^2}=\dfrac{\beta^2+q^2B^2}{m^2v_0^2}=\dfrac1{s_0^2}+\dfrac{q^2B^2}{m^2v_0^2}\). Отсюда \(\left(\dfrac{qB}{mv_0}\right)^2=\dfrac1{s_1^2}-\dfrac1{s_0^2}\). Для поля \(B/2\) величина \(qB/(mv_0)\) уменьшается вдвое, а её квадрат — в четыре раза: \[\frac1{s_2^2}=\frac1{s_0^2}+\frac14\left(\frac1{s_1^2}-\frac1{s_0^2}\right)=\frac{3}{4s_0^2}+\frac1{4s_1^2} \quad\Rightarrow\quad s_2=\frac{2s_0s_1}{\sqrt{s_0^2+3s_1^2}}.\] Число: \(s_2=\dfrac{2\cdot10\cdot6}{\sqrt{100+108}}=\dfrac{120}{\sqrt{208}}=\dfrac{30}{\sqrt{13}}\text{ см}\approx8{,}3\text{ см}.\) Для поля \(B\) из тех же данных \(qB/\beta=\sqrt{s_0^2/s_1^2-1}=4/3\), для поля \(B/2\) — \(2/3\).

Обратите внимание: в условии это расстояния от точки входа, то есть длины векторов \(\vec s\); путь по спирали длиннее. Поэтому из ответа нельзя получить путь, зато он и не нужен.

Ответ: \(s_2=\dfrac{2s_0s_1}{\sqrt{s_0^2+3s_1^2}}=\dfrac{30}{\sqrt{13}}\text{ см}\approx8{,}3\text{ см}.\)

Проверка. Размерность: \(\beta\) и \(qB\) измеряются одинаково (сила на скорость), \(mv_0/\beta\) — длина. Пределы: при \(B\to0\) получаем \(s_0\), при очень сильном поле \(s\to mv_0/(qB)\) — радиус окружности частицы в магнитном поле, потому что сопротивление уже не успевает ничего сделать. Численное интегрирование уравнения движения даёт для трёх значений поля \(10{,}0\), \(6{,}0\) и \(8{,}3\) см, то есть тот же результат.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.