Комета у Юпитера

Встреча с Юпитером меняет только направление скорости кометы относительно Юпитера, а не её модуль. Перейдите в систему отсчёта, связанную с Юпитером, найдите скорость кометы после встречи в системе Солнца, затем примените законы сохранения энергии и момента импульса на новой орбите.

\(r_p=\dfrac{\sqrt3-1}{2}\cdot5{,}2\text{ а.\,е.}\approx1{,}9\text{ а.\,е.}\)

Что происходит. Комета падает из бесконечности с нулевой скоростью, поэтому её энергия в поле Солнца равна нулю, и на расстоянии \(R=5{,}2\) а. е. её скорость \(v_0\) равна параболической, направлена по радиусу к Солнцу (на рисунке условия падение идёт по вертикали). Юпитер движется по окружности радиуса \(R\) со скоростью \(v_J\) и тяжелее кометы настолько, что от встречи его скорость не меняется. В системе отсчёта Юпитера поле Юпитера неподвижно, комета влетает и вылетает с одной и той же по модулю скоростью, а меняется только направление. Главная идея — перевести скорость кометы в систему Юпитера, повернуть и вернуть в систему Солнца.

Обозначения. \(M\) — масса Солнца, \(v_J=\sqrt{GM/R}\) — скорость Юпитера (круговая орбита), \(\vec v_0\) — скорость кометы до встречи, \(\vec w\) — после встречи, \(\vec u\) и \(\vec u\,'\) — скорости кометы относительно Юпитера до и после встречи.

1. Скорость до встречи. До встречи на комету действует только Солнце, поэтому механическая энергия кометы сохраняется. Запишем закон сохранения энергии между «далеко от Солнца» (скорость нуль, потенциальная энергия нуль) и расстоянием \(R\): \[\frac{v_0^2}{2}-\frac{GM}{R}=0 \quad\Rightarrow\quad v_0=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=\sqrt2\,v_J.\] Вектор \(\vec v_0\) направлен к Солнцу, \(\vec v_J\) перпендикулярен радиусу.

2. Скорость относительно Юпитера. Закон сложения скоростей: \(\vec u=\vec v_0-\vec v_J\). Векторы \(\vec v_0\) и \(\vec v_J\) перпендикулярны, поэтому \[u=\sqrt{v_0^2+v_J^2}=\sqrt3\,v_J.\]

3. Встреча. Во время встречи, которая коротка по сравнению с периодом обращения, поле Солнца почти не меняет скорость кометы. В системе Юпитера на комету действует только его неподвижное поле, поэтому механическая энергия кометы в этой системе сохраняется. Вдали от Юпитера до и после встречи потенциальная энергия в его поле равна нулю, значит \[u'=u=\sqrt3\,v_J.\] Обратите внимание: сохраняется модуль скорости в системе Юпитера. В системе Солнца энергия кометы растёт, потому что Юпитер движется и совершает над ней работу, и сохранять её там при встрече нельзя.

4. Скорость после встречи. По условию \(\vec w\) направлена противоположно \(\vec v_J\). Тогда \(\vec u\,'=\vec w-\vec v_J\) направлена тоже противоположно \(\vec v_J\), а её модуль — сумма модулей: \(u'=w+v_J\). Приравниваем: \[w+v_J=\sqrt3\,v_J \quad\Rightarrow\quad w=(\sqrt3-1)\,v_J\approx0{,}73\,v_J.\]

5. Новая орбита. Скорость \(\vec w\) перпендикулярна радиусу, а \(w<v_J\) (меньше круговой), поэтому точка встречи — афелий, как и сказано в условии. После встречи комета движется под действием одного Солнца, сохраняются энергия и момент импульса. Запишем их между афелием (расстояние \(R\), скорость \(w\)) и перигелием (расстояние \(r_p\), скорость \(v_p\), также перпендикулярная радиусу): \[w R=v_p r_p,\qquad \frac{v_p^2}{2}-\frac{GM}{r_p}=\frac{w^2}{2}-\frac{GM}{R}.\] Положим \(x=r_p/R\), \(k=w^2/v_J^2=(\sqrt3-1)^2=4-2\sqrt3\) и учтём \(GM=v_J^2R\). Тогда \(v_p=w/x\) и уравнение энергии принимает вид \(\dfrac{k}{2x^2}-\dfrac1x=\dfrac k2-1\), то есть \[(2-k)\,x^2-2x+k=0.\] Корень \(x=1\) — афелий, второй корень по теореме Виета \(x=\dfrac{k}{2-k}\): \[x=\frac{4-2\sqrt3}{2\sqrt3-2}=\frac{\sqrt3-1}{2}\approx0{,}366.\]

Ответ: \(r_p=\dfrac{\sqrt3-1}{2}\,R\approx0{,}366\cdot5{,}2\text{ а.\,е.}\approx1{,}9\text{ а.\,е.}\) Обратите внимание на модель: считаем орбиту Юпитера круговой, а подход кометы к его орбите — радиальным, как на рисунке условия.

Проверка. Второй способ: большая полуось \(a=\dfrac{GM}{2\,(GM/R-w^2/2)}=\dfrac{R}{2-k}=0{,}683\,R\), откуда \(r_p=2a-R=0{,}366\,R\). Предельные случаи: при \(w=v_J\) (\(k=1\)) орбита круговая и \(r_p=R\); при \(w\to0\) комета падает на Солнце, \(r_p\to0\). Численное интегрирование движения даёт наименьшее расстояние \(0{,}366\,R\). Смысл: Юпитер развернул комету в обратную сторону и забрал часть её энергии, она стала связанной с афелием у орбиты Юпитера.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.