Капля в закрытой полости

Пусть капля чуть выросла. Пар в закрытой полости потерял воду, и его давление упало; давление насыщенного пара над каплёй тоже упало. Равновесие устойчиво, если давление пара падает быстрее, чем давление насыщения над каплей.

Равновесие устойчиво при \(r>r_{\text{кр}}\approx7{,}5\) мкм, где \(r_{\text{кр}}\) найдено из условия \(\dfrac{4\pi\rho RT}{\mu V}\,r^2=\left|\dfrac{d\Delta p}{dr}\right|\).

Что происходит. Над выпуклой каплей насыщенный пар имеет давление \(p_{\text{нас}}(r)=p_{\text{нас}}(\infty)+\Delta p(r)\), причём чем меньше капля, тем оно выше. Капля находится в равновесии с паром, когда давление пара в полости \(p_{\text{пар}}\) равно \(p_{\text{нас}}(r)\). Вода в полости не исчезает: если капля растёт, давление пара падает. Главная идея — сравнить, как быстро с ростом радиуса падают эти два давления: если пар обедняется быстрее, чем падает давление насыщения у капли, то случайно выросшая капля попадёт в недонасыщенный пар и испарится назад.

Обозначения. \(r_0\) — равновесный радиус капли, \(V=3\text{ см}^3\) — объём полости, \(\rho=1000\text{ кг/м}^3\) — плотность воды, \(\mu=0{,}018\text{ кг/моль}\), \(T=293\text{ К}\), \(a=-dp_{\text{пар}}/dr\), \(b=-d\Delta p/dr\) — скорости падения двух давлений при росте капли.

1. Как давление пара зависит от радиуса капли. Полость замкнута, масса воды в ней постоянна. Рост радиуса на \(dr\) увеличивает массу капли на \(\rho\,4\pi r^2\,dr\) (объём капли много меньше \(V\), плотность пара много меньше \(\rho\)), и столько же пар теряет: \(V\,d\rho_{\text{п}}=-\rho\,4\pi r^2\,dr\). Пар — идеальный газ, \(p_{\text{пар}}=\rho_{\text{п}}RT/\mu\) при постоянной \(T\), поэтому \[\frac{dp_{\text{пар}}}{dr}=-\frac{RT}{\mu}\cdot\frac{4\pi\rho\,r^2}{V} \quad\Rightarrow\quad a=Kr^2,\quad K=\frac{4\pi\rho RT}{\mu V}.\] Число: \(\dfrac{RT}{\mu}=\dfrac{8{,}31\cdot293}{0{,}018}\approx1{,}35\cdot10^5\text{ Дж/кг}\), \(K=\dfrac{4\pi\cdot10^3\cdot1{,}35\cdot10^5}{3\cdot10^{-6}}\approx5{,}7\cdot10^{14}\text{ Па/м}^3=5{,}7\cdot10^{-4}\text{ Па/мкм}^3\).

2. Условие устойчивости. В равновесии \(p_{\text{пар}}(r_0)=p_{\text{нас}}(r_0)\). Вырастим каплю на малую величину \(\delta\): давление пара станет \(p_{\text{пар}}(r_0)-a\delta\), давление насыщения над каплёй — \(p_{\text{нас}}(r_0)-b\delta\) (от \(r\) зависит только \(\Delta p\)). Если \(a<b\), то пар окажется пересыщенным относительно новой капли, и она продолжит расти — равновесие неустойчиво (левая картина). Если \(a>b\), пар недонасыщен, капля испаряется и возвращается к \(r_0\) (правая картина); при уменьшении капли рассуждение зеркально. Значит, устойчивость — это \(Kr^2>b(r)\). Обратите внимание: устойчивость определяют не сами давления, а их наклоны; равновесие при данном \(r_0\) существует, если подобрать массу воды, но не каждое из них устойчиво.

3. Наклон графика. Величина \(b(r)=-d\Delta p/dr\) — модуль наклона касательной к графику на рисунке 7. Снимем его в нескольких точках (на участке \(6\)–\(10\) мкм кривая близка к \(\Delta p\approx2\text{ Па}\cdot\text{мкм}/r\)) и сравним с \(Kr^2\), где \(Kr^2=5{,}7\cdot10^{-4}\,r^2\) Па/мкм при \(r\) в микрометрах:

Кривая \(Kr^2\) растёт, \(b(r)\) убывает; они пересекаются при \(r_{\text{кр}}\approx7{,}5\) мкм. Левее \(a<b\) (неустойчиво), правее \(a>b\) (устойчиво).

Ответ: равновесие капли устойчиво при \(r>r_{\text{кр}}\approx7{,}5\) мкм (по графику — между 7 и 8 мкм). Меньшие капли в этой полости в равновесии с паром неустойчивы.

Проверка. Размерность: \(\rho RT/\mu\) — плотность энергии (Па), деление на \(V\) и умножение на \(r^2\) дают Па/м, как у \(d\Delta p/dr\). Второй способ: на участке \(6\)–\(10\) мкм \(\Delta p\approx c/r\) с \(c\approx2\text{ Па}\cdot\text{мкм}\), тогда \(b=c/r^2\) и условие \(Kr^2>c/r^2\) даёт \(r>(c/K)^{1/4}=(2/5{,}7\cdot10^{-4})^{1/4}\text{ мкм}\approx7{,}7\text{ мкм}\), то есть то же в пределах точности чтения графика. Смысл: в такой маленькой полости воды в паре мало, и капля размером в несколько микрометров заметно «объедает» пар — этим и держится устойчивость.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.