Сверхпроводящий коаксиальный кабель

Мощность постоянного тока — это произведение напряжения между жилой и оболочкой на ток. Напряжение выражается через напряжённость поля у жилы (поле падает как \(1/r\)), ток — через индукцию у жилы. Оба ограничения действуют у поверхности внутренней жилы.

1) Мощность вырастет в 4 раза;  2) \(P_{\max}=\dfrac{2\pi E_{\max}B_{\max}}{\mu_0}\,\dfrac{d^2}{4}\ln\dfrac Dd\approx1{,}1\cdot10^{8}\text{ Вт}\) (около 110 МВт).

Что происходит. По жиле идёт ток \(I\) вперёд, по оболочке — назад, между ними напряжение \(U\) и полезная мощность \(P=UI\). Пока сверхпроводники сверхпроводят, потерь нет, и мощность ограничена только тем, что поле у жилы не должно превысить \(B_{\max}\) (иначе пропадёт сверхпроводимость) и \(E_{\max}\) (иначе пробьётся изоляция). Главная идея — выразить \(U\) через \(E_{\max}\), \(I\) через \(B_{\max}\) и оценить, где поля наибольшие.

Обозначения. \(a=d/2\) — радиус жилы, \(b=D/2\) — внутренний радиус оболочки, \(r\) — расстояние от оси, \(\lambda\) — заряд жилы на единицу длины.

1. Электрическое поле и напряжение. Запишем теорему Гаусса для коаксиального цилиндра радиуса \(r\) между жилой и оболочкой: поток поля через боковую поверхность длины \(l\) равен \(E\cdot2\pi rl\) и пропорционален заряду \(\lambda l\) внутри, поэтому \(E(r)=A/r\) с постоянной \(A\propto\lambda\). Поле наибольшее у жилы: \(E_{\max}=A/a\), откуда \(A=E_{\max}a\). Напряжение между жилой и оболочкой \[U=\int_a^b E\,dr=A\ln\frac ba=E_{\max}\,a\ln\frac ba.\]

2. Магнитное поле и ток. По условию \(B=\mu_0I/(2\pi r)\) в зазоре, так что и \(B\) наибольшее у жилы: \(B_{\max}=\mu_0I/(2\pi a)\). Отсюда наибольший допустимый ток \[I=\frac{2\pi a\,B_{\max}}{\mu_0}.\] Обратите внимание: у наружной оболочки оба поля меньше, чем у жилы, в \(b/a\) раз (рисунок), поэтому ограничивает именно поверхность жилы. И напряжение, и ток можно довести до предела одновременно: \(U\) задаёт источник, \(I\) — нагрузка, они независимы.

3. Предельная мощность. Перемножим: \[P_{\max}=UI=\frac{2\pi E_{\max}B_{\max}}{\mu_0}\;a^2\ln\frac ba.\]

4. Увеличение диаметров вдвое. При \(a\to2a\), \(b\to2b\) отношение \(b/a\) и \(\ln(b/a)\) не меняются, а \(a^2\) растёт в четыре раза. Максимальная мощность увеличится в 4 раза.

5. Кабель \(D=8\) см, \(d=3\) см. Здесь \(a=1{,}5\) см, \(b=4\) см, \(E_{\max}=2\cdot10^6\) В/м. Постоянная \(\dfrac{2\pi E_{\max}B_{\max}}{\mu_0}=\dfrac{2\pi\cdot2\cdot10^6\cdot5\cdot10^{-2}}{4\pi\cdot10^{-7}}=5\cdot10^{11}\text{ Вт/м}^2\), и \[P_{\max}=5\cdot10^{11}\cdot(1{,}5\cdot10^{-2})^2\cdot\ln\frac83\approx5\cdot10^{11}\cdot2{,}25\cdot10^{-4}\cdot0{,}98\approx1{,}1\cdot10^{8}\text{ Вт}.\] Предельные значения тока и напряжения при этом \(I=2\pi aB_{\max}/\mu_0\approx3{,}8\cdot10^{3}\) А и \(U=E_{\max}a\ln(b/a)\approx2{,}9\cdot10^{4}\) В.

Ответ: 1) в 4 раза; 2) \(P_{\max}\approx1{,}1\cdot10^{8}\text{ Вт}\approx110\text{ МВт}\).

Проверка. Размерность: \(B_{\max}/\mu_0\) — ток на метр (А/м), \(E_{\max}B_{\max}/\mu_0\) — Вт/м\(^2\), умноженная на \(a^2\), — ватты. Второй способ: мощность — поток вектора Пойнтинга \(S=EH\) через зазор, \(P=\int_a^b\dfrac Ar\cdot\dfrac{I}{2\pi r}\,2\pi r\,dr=AI\ln\dfrac ba=UI\), то же. Замечание: при фиксированном \(D=8\) см мощность как функция \(d\) достигает наибольшего значения при \(a=b/\sqrt e\), то есть \(d\approx4{,}9\) см и \(P\approx1{,}5\cdot10^{8}\) Вт; заданный кабель даёт около \(75\,\%\) этого максимума (рисунок).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.