Конденсатор с колеблющейся пластиной

Ёмкость \(C(t)=\varepsilon_0S/d\) колеблется около \(C=\varepsilon_0S/d_0\). Запишите второе правило Кирхгофа и оставьте члены первого порядка по \(m\); для колебаний заряда получится уравнение обычной \(RC\)-цепи с источником, дающим \(mU_0\sin\omega t\).

\(P_{\text{нч}}=\dfrac12\,m^2\omega^2RC^2U_0^2\) при \(\omega\ll\dfrac1{RC}\);  \(P_{\text{вч}}=\dfrac{m^2U_0^2}{2R}\) при \(\omega\gg\dfrac1{RC}\), где \(C=\dfrac{\varepsilon_0S}{d_0}\). График: \(P\propto\omega^2\) при малых \(\omega\), затем рост замедляется, и \(P\) выходит на постоянное значение.

Что происходит. Ёмкость конденсатора меняется: \(C(t)=\dfrac{\varepsilon_0S}{d}=\dfrac{C}{1+m\sin\omega t}\) с \(C=\varepsilon_0S/d_0\). Поэтому заряд на пластинах должен меняться, и по цепи течёт переменный ток; средняя мощность на резисторе равна среднему от \(Ri^2\). Главная идея — при \(m\ll1\) ток первого порядка по \(m\) найти из линейного уравнения, а мощность — второго порядка. Пока частота низка, заряд успевает следовать за ёмкостью, при высокой частоте заряд почти не меняется, а напряжение на конденсаторе колеблется, и эту разность принимает на себя резистор.

Обозначения. \(q(t)\) — заряд на пластине, подключённой к плюсу батареи, \(i=dq/dt\) — ток в цепи, \(q_0=CU_0\) — заряд при неподвижной пластине.

1. Уравнение цепи. Запишем второе правило Кирхгофа для замкнутой цепи: напряжение батареи равно сумме напряжений на резисторе и конденсаторе, \[U_0=R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C(t)}=R\frac{dq}{dt}+\frac{q\,(1+m\sin\omega t)}{C}.\] Без колебаний (\(m=0\)) заряд постоянен и равен \(q_0=CU_0\).

2. Первый порядок по \(m\). Положим \(q=q_0+q_1\), где \(q_1\sim m\). Подставим и сократим \(U_0=q_0/C\); слагаемое \(q_1m\sin\omega t\) второго порядка и отбрасывается: \[R\frac{dq_1}{dt}+\frac{q_1}{C}=-\frac{q_0}{C}\,m\sin\omega t=-mU_0\sin\omega t.\] Это уравнение обычной \(RC\)-цепи с постоянным конденсатором \(C\) и источником, ЭДС которого \(\mathcal{E}=-mU_0\sin\omega t\). Ток \(i=dq_1/dt\) в установившемся режиме гармонический, его амплитуда — амплитуда тока в последовательной цепи \(R\), \(C\) при частоте \(\omega\): \[I=\frac{mU_0}{\sqrt{R^2+\dfrac{1}{\omega^2C^2}}}.\] Постоянной составляющей тока нет: заряд в среднем неизменен.

3. Средняя мощность. Среднее значение \(\sin^2\) за период равно \(\tfrac12\), поэтому \[P=\frac{R I^2}{2}=\frac{m^2U_0^2}{2R}\cdot\frac{\omega^2R^2C^2}{1+\omega^2R^2C^2}.\] Обратите внимание: мощность второго порядка по \(m\), поэтому ток нужен точно в первом порядке; нулевой порядок мощности не даёт, ведь при постоянной ёмкости и постоянном заряде тока нет.

4. Пределы. Низкая частота \(\omega RC\ll1\): знаменатель близок к единице, \(P\approx\dfrac12\,m^2\omega^2RC^2U_0^2\). Второй способ: заряд следует за ёмкостью, \(q=C(t)U_0\approx CU_0(1-m\sin\omega t)\), ток \(i=-CU_0m\omega\cos\omega t\) и \(\langle Ri^2\rangle=\tfrac12RC^2U_0^2m^2\omega^2\), то же. Высокая частота \(\omega RC\gg1\): дробь стремится к единице, \(P=\dfrac{m^2U_0^2}{2R}\): сопротивление конденсатора \(1/(\omega C)\) мало по сравнению с \(R\), и амплитуда тока определяется резистором, \(I=mU_0/R\).

5. График. Зависимость \(P/P_\infty=x^2/(1+x^2)\), \(x=\omega RC\), \(P_\infty=m^2U_0^2/(2R)\): при \(x=0{,}5;\ 1;\ 2;\ 5\) она равна \(0{,}2;\ 0{,}5;\ 0{,}8;\ 0{,}96\). Кривая начинается как парабола \(P\propto\omega^2\), на \(\omega=1/(RC)\) достигает половины предельного значения и затем выходит на горизонталь \(m^2U_0^2/(2R)\) (пунктир на рисунке — парабола низких частот).

Ответ: \(P_{\text{нч}}=\dfrac12\,m^2\omega^2RC^2U_0^2\), \(P_{\text{вч}}=\dfrac{m^2U_0^2}{2R}\), \(C=\dfrac{\varepsilon_0S}{d_0}\); график — по рисунку.

Проверка. Размерность: \(U_0^2/R\) — мощность, \(\omega RC\) безразмерно, \(RC^2\omega^2U_0^2=(U_0^2/R)(\omega RC)^2\) — мощность. Физический смысл: на высокой частоте заряд заморожен, напряжение на конденсаторе \(q_0/C(t)\) колеблется как \(U_0(1+m\sin\omega t)\), отличаясь от \(U_0\) на \(mU_0\sin\omega t\), и именно эту добавку к напряжению принимает \(R\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.