Стабилизация

Подсказка

Характерное время зарядки равно \(RC\) только для идеального конденсатора: реальный электролитический конденсатор имеет ток утечки, то есть параллельный резистор, поэтому предел напряжения меньше \(U_0\), а время зарядки определяйте по касательной в начале процесса.

Ответ

1.1) \(\overline{U}_C=U_0\), \(\tau=RC\); 2.2) причина — ток утечки конденсатора; 2.3) \(R_C=R\,\overline{U}_C/U_R\): около \(295\) кОм при \(U_0=4{,}0\) В и около \(540\) кОм при \(2{,}0\) В (сопротивление падает с ростом напряжения); 2.4) \(\overline{U}\approx3{,}5\) В, \(\tau\approx150\) с при \(U_0=4{,}0\) В и \(\overline{U}\approx1{,}8\) В, \(\tau\approx200\) с при \(U_0=2{,}0\) В; 2.5) расчёт даёт \(\tau\approx153\) с и \(196\) с; 3.2) при токах выше \(40\) мкА напряжение на стабилитроне \(\approx1{,}5\) В; 4.1) с параллельным стабилитроном напряжение на конденсаторе не превышает \(\approx1{,}5\) В; 4.3) при последовательном — предельное напряжение уменьшается на \(1{,}5\) В, время зарядки растёт.

Решение

Часть 1. Введение.

1.1 Для рассматриваемой цепи в любой момент времени справедливо уравнение (закон Ома):

\[U_0 = IR + U_C.\tag{1}\]

Если напряжение на конденсаторе достигает стационарного значения, то ток в цепи прекращается, поэтому при \(I = 0\)

\[\overline{U}_C = U_0.\tag{2}\]

В начальный момент зарядки напряжение на конденсаторе равно нулю \(U_C = 0\), поэтому в этот момент сила тока равна

\[I_0 = \frac{U_0}{R}.\tag{3}\]

Следовательно, скорость изменения напряжения на конденсаторе в этот момент рассчитывается по формуле

\[\Delta U_C = \frac{\Delta q}{C} = \frac{I_0 \Delta t}{C} \quad \Rightarrow \quad \left( \frac{\Delta U_C}{\Delta t} \right)_0 = \frac{I_0}{C} = \frac{U_0}{RC}.\tag{4}\]

В соответствии с предложенной в условии методикой определяем характерное время зарядки

\[\tau = \frac{\overline{U}_C}{\left( \frac{\Delta U_C}{\Delta t} \right)_0} = RC.\tag{5}\]

Часть 2. Электролитический (полярный) конденсатор.

2.1 Результаты измерений зависимостей напряжения на конденсаторе от времени при двух значениях напряжения \(U_0\) (\(U^{(4)}(t)\) при \(U_0 = 4{,}0\) В и \(U^{(2)}(t)\) при \(U_0 = 2{,}0\) В) представлены в Таблице 1. Графики этих зависимостей показаны на рисунке.

Таблица 1. Зарядка конденсатора.

Зависимость напряжения на конденсаторе от времени

2.2 Главная причина неравенства предельных значений напряжения на конденсаторе \(\overline{U}_{C}\) с установленными напряжениями \(U_{0}\) - ток утечки конденсатора. Для подтверждения этого утверждения достаточно показать, что и в предельном режиме (по прошествии большого промежутка времени) достаточно провести измерения напряжения на резисторе — оно отлично от нуля, что свидетельствует о том, что ток в цепи продолжает идти. Так как напряжение на конденсаторе при этом не изменяется, то это есть ток утечки. Иными

словами, для правильного описания режимов работы цепи в эквивалентную схему параллельно конденсатору следует добавить резистор с сопротивлением равным сопротивлению конденсатора.

2.3 Для расчета сопротивления конденсатора можно измерить установившиеся значения напряжений на резисторе и на конденсаторе. В этом случае (при отсутствии тока зарядки) выполняется соотношение (условия постоянства силы тока):

\[\frac{U_{R}}{R} = \frac{\overline{U}_{C}}{R_{C}} \Rightarrow R_{C} = R \frac{\overline{U}_{C}}{U_{R}}.\tag{6}\]

Проведенные измерения (после 1 часа зарядки) дали следующие значения\(^{2}\):

Важно (и неожиданно!), оказывается сопротивление конденсатора зависит от напряжения на нем: с ростом напряжения сопротивление падает («конденсатор течет сильнее»). Кроме того, даже в установившемся режиме сумма напряжений на конденсаторе и резисторе оказывается меньше начального установленного напряжения \(U_0\). Это связано с тем, что сопротивление делителя напряжений (потенциометра) оказывается сравнимым с сопротивлением подключенной цепи.

Для грубой оценки сопротивления конденсатора можно попытаться воспользоваться и данными снятыми с графиков зависимости напряжения на конденсаторе от времени, полагая, что суммарное напряжение не изменилось. Такие оценки дают следующие результаты: (\(U^{(4)}(t)\) при \(U_0 = 4{,}0B\) и \(U^{(2)}(t)\) при \(U_0 = 2{,}0B\))

для \(U_0 = 4{,}0B\) \(R_C = R \frac{\overline{U}_C}{U_0 - U_R} = 30 \cdot \frac{3500}{4000 - 3500} \approx 210\) кОм

для \(U_0 = 2{,}0B\) \(R_C = R \frac{\overline{U}_C}{U_0 - U_R} = 30 \cdot \frac{1750}{2000 - 1750} \approx 210\) кОм

При таком подходе получены заниженные оценки, кроме того не проявляются различия в сопротивлении конденсатора при разных напряжениях. Поэтому дополнительные измерения при большем времени зарядки необходимы!

2.4 По построенным графикам временных зависимостей можно определить примерные предельные значения напряжений на конденсаторах и характерные времена зарядки конденсатора при двух напряжениях источника. Такие построения показаны на рисунке, результаты представлены ниже:

\[\begin{aligned} \overline{U}^{(4)} &\approx 3{,}5 \text{ В}, & \tau^{(4)} &\approx 150 \text{ с} \\ \overline{U}^{(2)} &\approx 1{,}8 \text{ В}, & \tau^{(2)} &\approx 200 \text{ с} \end{aligned}\tag{7}\]

Важно отметить, что характерные времена зарядки зависят от начального напряжения, что свидетельствует о зависимости сопротивления конденсатора от напряжения на нем!

2.5 Теоретический расчет характерных времен зарядки представляет собой достаточно громоздкую, но посильную задачу. Прежде всего, отметим, что упрощенный расчет этих времен (при условии постоянства напряжения на выходе потенциометра) дает принципиально неверный результат.

Действительно, в рассматриваемой цепи (в рамках сделанного приближении) при зарядке выполняются соотношения

\[\overline{U} = \frac{U_0 R_C}{R + R_C}, \quad I_0 = \frac{U_0}{R},\tag{8}\]

из которых следует, что \(\tau = \frac{C\overline{U}}{I_0} = \frac{C R_C R}{R + R_C} < RC \approx 120 \text{ с}\). Хотя в действительности эти времена оказываются большими, чем \(RC\).

Следовательно, необходимо полностью и корректно рассчитывать начальные токи и установившиеся напряжения на конденсаторе в цепи, показанной на рисунке. Причем в начальный момент времени следует полагать, что \(R_x = R\) и рассчитать силу тока \(I_1\), а в установившемся режиме \(R_x = R + R_C\) и найти напряжение на \(R_C\).

Результаты таких расчетов представлены в таблицах

Полученные результаты совпадают с результатами измерений (как по временам зарядки, так и по предельным значениям).

Часть 3 Стабилитрон.

Схема для измерения вольтамперной характеристики стабилитрона очевидна. Результаты измерений и требуемый график приведены в таблице и на рисунке.

Таблица 2. ВАХ стабилитрона

Важно отметить, что при токах больших \(40\) мкА напряжение на стабилитроне остается практически постоянным, что и оправдывает название этого прибора!

Часть 4. Конденсатор и стабилитрон.

4.1 Результаты измерения временных зависимостей напряжения на конденсаторе для схемы, показанной на рисунке, и соответствующие графики приведены в таблице 3 и на рисунке.

Таблица 3. Зарядка с параллельным стабилитроном.

Пока напряжение на конденсаторе не достигло напряжения стабилизации, стабилитрон практически не влияет на процесс зарядки (для сравнения приведена кривая зарядки без стабилитрона). После того, как напряжение достигло 1,5 В зарядка прекращается – весь ток протекает через стабилитрон. При начальном напряжении 2,0 В стабилитрон практически не влияет на процесс зарядки, так как не достигается значения напряжения стабилизации.

4.2 При последовательном подключении стабилитрона временная характеристика зарядки становится иной.

Зарядка с последовательно подключенным стабилитроном

Предельное напряжение уменьшается на напряжение стабилизации стабилитрона (т.е на \(1{,}5\) В). Так как стабилитрон вносит дополнительное сопротивление, возрастает также время зарядки конденсатора.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.