Странные законы движения

Подсказка

Скорость течения вязкой жидкости по трубке пропорциональна разности давлений на её концах (закон Пуазейля); для перетекания получается \(v=k(L-x)\), для намокания бумаги сила сопротивления пропорциональна и скорости, и высоте столба, откуда \(x^2\propto t\).

Ответ

1.4) \(v=kx+b\) с \(k=-(2{,}4\pm0{,}2)\cdot10^{-3}\text{ с}^{-1}\), \(b=(0{,}41\pm0{,}02)\) мм/с (длина трубки \(L=-b/k\approx175\) мм; по логарифмическому графику \(k=-(2{,}24\pm0{,}03)\cdot10^{-3}\text{ с}^{-1}\)); 2.3) \((x-x_0)^2=At\), \(A=(3{,}0\pm0{,}1)\) мм\(^2\)/с.

Решение

Часть 1. Перетекание.

1.1 Результаты измерений зависимости высоты столбика масла \(x\) в верхней трубке от времени даны в Таблице 1. Там же приведены и результаты необходимых в дальнейшем расчетов.

Для расчета скорости использовалась предложенная в условии схема.

Отметим, что высота столбика воды в нижней практически такая же, как и масла в верхней. График полученной зависимости показан на рисунке.

Таблица 1. Перетекание масла.

1.2 Для объяснения наблюдаемого эффекта необходимо предположить, что нижний край верхней пластиковой трубки находится вверху нижнего сосуда, а верхний край нижней трубки внизу верхнего сосуда. В этом случае по первой трубке масло будет перетекать вверх, а по второй – вода вниз (см. рисунок).

1.3 Покажем, что скорость перетекания жидкостей линейно зависит от высоты столбика масла (и равной ей высоты столбика воды) \(x\). Обозначим давление жидкости на верхнем срезе трубки в верхнем сосуде \(P_0\), тогда давление в нижней области этой трубки будет равно

\[P = P_0 + \rho g x + \rho_0 g (L - x),\tag{1}\]

где \(\rho_0, \rho\) - плотности воды и масла, соответственно, \(L\) - высота сосуда и примерно равная ей длина трубки (различием в них и толщиной пробки пренебрегаем). Аналогично для нижнего сосуда: \(P_1\) - давление в его верхней части, тогда давление у дна

\[P = P_1 + \rho g (L - x) + \rho_0 g x.\tag{2}\]

Разумно предположить, что скорость течения жидкостей в трубках пропорциональна разности давлений на ее концах\(^3\). Тогда для скорости течения масла (вверх!) можно записать уравнение

\[P_1 - P_0 - \rho g L = \beta v,\tag{3}\]

где \(\beta\) - некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрических размеров трубки и вязкости масса, \(\rho g L\) - гидростатическое давление масла в трубке. Аналогично для движения воды (вниз – поэтому гидростатическое давление воды в трубке войдет с другим знаком!) справедливо уравнение

\[(P_0 + \rho g x + \rho_0 g (L - x)) - (P_1 + \rho g (L - x) + \rho_0 g x) + \rho_0 g l = \beta_0 v.\tag{4}\]

Сложив уравнения (3)-(4), и после приведения подобных членов, получим

\[\begin{aligned} &+ \begin{cases} P_1 - P_0 - \rho g L = \beta v \\ (P_0 + \rho g x + \rho_0 g (L - x)) - (P_1 + \rho g (L - x) + \rho_0 g x) + \rho_0 g L = \beta_0 v \end{cases} \\ \Rightarrow \quad & (\rho_0 - \rho) g (L - x) = (\beta_0 + \beta) v \end{aligned}\tag{5}\]

Отсюда следует, что скорость движения жидкостей в трубках пропорциональна величине \((L - x)\), то есть высоте столба воды в верхнем сосуде

\[v = \frac{(\rho_0 - \rho) g}{(\beta_0 + \beta)} (L - x).\tag{6}\]

Следовательно, этой же величине пропорциональна и скорость движения границ масла и воды в обоих сосудах.

1.4 На графике показана зависимость скорости движения границы от координаты \(x\), рассчитанная по экспериментальным данным.

На начальном этапе, пока процесс перетекания не установился (когда случайным образом влияют пузырьки воздуха, капельки воды и масла в трубках) скорость даже возрастает.

Этот же факт можно видеть и на начальном этапе графика закона движения.

В дальнейшем скорость движения практически линейно зависит от координаты, что подтверждает проделанные теоретические расчеты.

Параметры линейной зависимости

\[v = kx + b,\tag{7}\]

рассчитанные по МНК оказываются равными

\[\begin{aligned} k &= -(2{,}4 \pm 0{,}2) \cdot 10^{-3} \text{ с}^{-1} \\ b &= (0{,}41 \pm 0{,}02) \text{ мм/с} \end{aligned}\tag{8}\]

Заметим, что уравнение (7) можно записать в виде

\[v = k_1(L - x),\]

где \(k_1 = -k\), \(L = -\frac{b}{k} \approx 175 \text{ мм}\), что, во-первых, совпадает с видом уравнения (6); во-вторых, дает значение длины трубки \(L\) близкое к ее реальной длине.

Дополнение (не обязательное для участников олимпиады).}

Более строго и надежно закон движения можно обосновать на основании уравнения (6). Если скорость изменения координаты \(x\) подчиняется уравнению

\[\frac{dx}{dt} = k(L - x),\tag{9}\]

то закон движения имеет вид

\[x = L(1 - \exp(-kt)).\tag{10}\]

Его удобно представить в логарифмической шкале

\[\ln(L - x) = \ln L - kt.\tag{11}\]

График этой зависимости показан на рисунке.

Как видно, в этом случае разброс точек значительно меньше (так как мы избежали процедуры численного дифференцирования). С помощью этого графика можно определить требуемые параметры с большей точностью.

Так, например, коэффициент наклона оказывается равным \(k = -(2{,}24 \pm 0{,}03) \cdot 10^{-3} \text{ с}^{-1}\), что на порядок точнее, чем приведенное ранее значение.

Часть 2. Намокание.

2.1 Результаты измерений\(^4\) зависимости высоты подъема мокрой границы \(x\) от времени \(t\) приведены в Таблице 1. Рядом показан график полученной зависимости.

Таблица 1. Намокание бумаги.

2.2 Так как процесс подъема воды медленный, то можно считать, что его скорость определяется процессами вязкого трения. В этом случае сила сопротивления пропорциональны скорости движения и высоте поднятого столба. Силы поверхностного натяжения, поднимающие воду, постоянны. Поэтому, приравнивая эти силы, получим

\[\beta x v = f.\tag{1}\]

Из этого уравнения следует

\[\beta x v = f \implies x \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{f}{\beta} \implies x \Delta x = \frac{f}{\beta} \Delta t.\tag{2}\]

Если просуммировать\(^5\) полученное уравнение, получим

\[(x - x_0)^2 = At,\tag{3}\]

где \(A\) - неизвестная постоянная, выражающаяся через столь же неизвестные параметры \(\beta, f\). Для проверки данной зависимости можно воспользоваться двумя равноценными способами, построив зависимость либо \((x - x_0)^2 = At\), либо \(x = x_0 + \sqrt{At}\).

На графиках представлены обе зависимости. Как видно, они достаточно близки к линейным, что подтверждает сделанное предположение и проведенные теоретический анализ. Значения требуемого параметра оказались в пределах погрешности совпадающими

\[A = (3{,}0 \pm 0{,}1) \frac{\text{мм}^2}{\text{с}}.\]

Отметим, что, не смотря на кажущееся подобие законов движения в двух частях данного задания, они оказались различными.

Справедливости ради следует сказать, что с определенной точностью процесс намокания бумаги также может быть аппроксимирован экспоненциальной зависимостью.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.