Очень медленное движение

При равномерном всплытии сила Архимеда за вычетом силы тяжести уравновешивается вязким сопротивлением \(Cr^\gamma v\): получи \(v\propto r^{3-\gamma}\) и найди \(\gamma\) из эксперимента. Отношение скоростей масляного и воздушного пузырька одного радиуса даёт отношение плотностей.

1.1) движение равномерное, скорость — наклон \(x(t)\);  1.2) \(v=\dfrac{4\pi(\rho_0-\rho)g}{3C}\,r^{3-\gamma}\), \(v\propto r^2\), \(\gamma=1\);  2.1–2.2) то же для воздуха, времена всплытия примерно в 5 раз меньше;  3.1) \(\dfrac{\rho}{\rho_0}=1-\dfrac{v}{v_1}\).

Часть 1. Масляный пузырек.

1.1 Времена всплытия масляных пузырьков составляют несколько минут. Для доказательства равномерности движения необходимо экспериментально измерить закон движения пузырька: зависимость координаты от времени. Для этого следует использовать секундомер с памятью этапов: заранее отметить 10 точек на линейке и засечь времена прохождения пузырька через эти отметки.

График экспериментальной зависимости весьма близок к прямой, что и доказывает равномерность движения пузырька.

Наиболее точным методом расчета скорости является метод наименьших квадратов, коэффициент наклона зависимости \(x(t)\) равен средней скорости движения.

1.2 Для получения зависимости скорости пузырька от его радиуса измерения необходимо провести не менее, чем для 10 различных пузырьков. График зависимости скорости пузырька от его радиуса является параболой, что можно доказать и линеаризацией \(v(r^2)\). При равномерном движении разность силы Архимеда и силы тяжести уравновешивается силой сопротивления, поэтому в стационарном режиме справедливо следующее уравнение

\[\frac{4}{3} \pi r^3 (\rho_0 - \rho) g = C r^\gamma v,\tag{1}\]

Из которого следует, что

\[v = \frac{4}{3C} \pi r^{3-\gamma} (\rho_0 - \rho) g,\tag{2}\]

где \(\rho_0\) - плотность мыла, \(\rho\) - плотность масла.

Так как в эксперименте оказалось, что скорость пропорциональна квадрату радиуса, то из этого следует, что показатель степени равен

\[\gamma = 1.\tag{3}\]

Часть 2. Воздушный пузырек.

2.1-2.2 Результаты измерений времен всплытия воздушных пузырьков аналогичны результатам исследования подъема масляных пузырьков, только характерные времена всплытия примерно в 5 раз меньше. Движение воздушных пузырьков также является равномерным.

Часть 3. Сравнение.

3.1 Для скорости установившегося движения воздушного пузырька справедлива формула, аналогичная формуле (2), в которой можно пренебречь плотностью воздуха:

\[v_1 = \frac{4}{3C} \pi r^{3-\gamma} \rho_0 g\tag{4}\]

Отношение скоростей двух пузырьков одинакового радиуса зависит от плотностей следующим образом:

\[\frac{v}{v_1} = \frac{(\rho_0 - \rho)}{\rho_0}\tag{5}\]

Из этой формулы следует, что

\[\frac{\rho}{\rho_0} = 1 - \frac{v}{v_1}\tag{6}\]

Конечно, более предпочтительным является расчет по коэффициентам наклона зависимостей \(v(r^2)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.