Цилиндр с поршнем, воздух и пар

Пока в сосуде есть вода, пар насыщенный, и давление зависит только от температуры. Когда поршень остановился? Запишите уравнение Менделеева — Клапейрона для пара и для воздуха в начале и в конце и найдите по таблице точки, где выполняется ещё и условие насыщения.

Масса пара вначале \(m_{\text{п}0}=m/3\approx1{,}3\) г; масса воздуха \(m_{\text{в}}\approx2{,}1\) г; начальная температура \(t_0\approx127\,^\circ\)C (\(T_0\approx400\) К); поршень остановился при \(t_1\approx153\,^\circ\)C.

Что происходит. Пока в правой части есть вода, пар в ней насыщенный, и его давление равно \(p_{\text{н}}(t)\). С ростом температуры оно растёт быстрее, чем давление воздуха при постоянном объёме (\(p\propto T\)), поэтому поршень сдвигается в сторону воздуха, а давления слева и справа в каждый момент равны. Движение прекратилось, когда вся вода испарилась: дальше пар ненасыщенный, оба газа нагреваются при неизменных объёмах и давлениях в одинаковом отношении, и поршень стоит. Главная идея — в момент остановки вся масса \(m\) стала паром, а объёмы газов известны из смещения.

Обозначения. Индекс \(0\) — начало, без индекса — момент остановки. Длина цилиндра \(2L\), каждая часть вначале занимает объём \(V_0\); смещение на четверть длины цилиндра, то есть на \(L/2\), уменьшает объём воздуха до \(V_{\text{в}}=V_0/2\) и увеличивает объём пара до \(V_{\text{п}}=3V_0/2\). \(M=18\) г/моль — молярная масса воды, \(M_{\text{в}}=29\) г/моль — молярная масса воздуха.

1. Момент остановки. В этот момент вся вода — пар, и он ещё насыщенный. Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для пара массой \(m\) в объёме \(V_{\text{п}}\): \[p\,\frac{3V_0}{2}=\frac{m}{M}\,RT\quad\Rightarrow\quad \frac{p}{T}=\frac{2mR}{3MV_0}\approx1{,}23\cdot10^{3}\ \frac{\text{Па}}{\text{К}} .\] Одновременно пар насыщенный: \(p=p_{\text{н}}(t)\), \(T=t+273\). На графике это прямая \(2\), проведённая через начало координат \(p=1231\,T\), и кривая \(p_{\text{н}}(t)\) по таблице. Они пересекаются в одной точке (рисунок ниже): \(t_1\approx153\,^\circ\)C, \(p\approx5{,}2\cdot10^5\) Па.

2. Начальное состояние. Воздух: масса постоянна, поршень в конце сжал его до \(V_0/2\) при том же давлении \(p\) и температуре \(T\): \[\frac{p_0V_0}{T_0}=\frac{p\,V_0/2}{T}\quad\Rightarrow\quad \frac{p_0}{T_0}=\frac12\,\frac{p}{T}\approx6{,}2\cdot10^{2}\ \frac{\text{Па}}{\text{К}} .\] В начале пар тоже насыщенный (вода и пар вместе), поэтому \(p_0=p_{\text{н}}(t_0)\). На графике это прямая \(1\), \(p_0=616\,T_0\), и её пересечение с кривой даёт \(t_0\approx127\,^\circ\)C (\(T_0\approx400\) К), \(p_0\approx2{,}5\cdot10^5\) Па.

3. Масса пара вначале. Для начального пара в объёме \(V_0\): \[m_{\text{п}0}=\frac{M p_0V_0}{RT_0}=\frac{MV_0}{R}\cdot\frac{p_0}{T_0}\approx\frac{0{,}018\cdot10^{-3}\cdot616}{8{,}31}\ \text{кг}\approx1{,}3\cdot10^{-3}\ \text{кг}.\] Это можно записать и без таблицы: по пункту 2 \(p_0V_0/T_0=\tfrac13\,p\,V_{\text{п}}/T\), а \(p\,V_{\text{п}}/T=mR/M\). Значит \(m_{\text{п}0}=m/3\approx1{,}3\) г.

4. Масса воздуха. Вначале поршень в равновесии: давления в двух частях равны, объёмы равны (\(V_0\)), температуры равны. По уравнению Менделеева — Клапейрона число молей воздуха равно числу молей пара вначале: \[\nu_{\text{в}}=\frac{p_0V_0}{RT_0}=\frac{m_{\text{п}0}}{M}=\frac{m}{3M}\approx0{,}074\ \text{моль},\qquad m_{\text{в}}=M_{\text{в}}\nu_{\text{в}}\approx29\cdot0{,}074\ \text{г}\approx2{,}1\ \text{г}.\] Обратите внимание: после остановки поршня давление пара уже не равно \(p_{\text{н}}\): воды нет, пар ненасыщенный. Условие насыщения верно только в двух состояниях — вначале и в момент, когда последняя капля испарилась.

Проверка. Размерность: \(MV_0\,p_0/(RT_0)\) — килограммы. Второй способ для начальной массы пара: плотность насыщенного пара при \(127\,^\circ\)C равна \(p_0M/(RT_0)\approx2{,}5\cdot10^5\cdot0{,}018/(8{,}31\cdot400)\approx1{,}3\) кг/м\(^3\), а в объёме \(V_0=10^{-3}\) м\(^3\) это \(1{,}3\) г — то же число. При остановке плотность пара \(m/V_{\text{п}}=4\text{ г}/1{,}5\text{ л}\approx2{,}7\) кг/м\(^3\) совпадает с плотностью насыщенного пара при \(153\,^\circ\)C (\(5{,}2\cdot10^5\cdot0{,}018/(8{,}31\cdot426)\approx2{,}7\) кг/м\(^3\)). Смысл: вначале вода есть (\(4-1{,}3=2{,}7\) г), в конце она кончилась.

Ответ: \(m_{\text{п}0}=m/3\approx1{,}3\) г; \(m_{\text{в}}=\dfrac{M_{\text{в}}m}{3M}\approx2{,}1\) г; \(t_0\approx127\,^\circ\)C (\(T_0\approx400\) К); поршень остановился при \(t_1\approx153\,^\circ\)C.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.