U-образная трубка и пар

Над водой в закрытых коленах «насыщенный пар»: его давление зависит только от температуры, а температура кипения и есть та температура, при которой давление насыщенного пара равно внешнему. Справка про 23 этаж даёт, на сколько меняется давление пара при изменении температуры на \(0{,}25\,{}^\circ\text{C}\).

\(\Delta h=\dfrac{2\rho_{\text{в}}H}{\rho}\approx18\text{ см}\); уровень в левом (более холодном) колене выше.

Что происходит. Над водой в каждом колене находится насыщенный водяной пар (модель: в закрытых коленах только вода и её пар; воздуха нет). Его давление зависит только от температуры: \(p_{\text{нас}}(100\,{}^\circ\text{C})=p_0\), нормальное атмосферное, а при \(99{,}5\,{}^\circ\text{C}\) оно меньше. Правое, более горячее колено давит на воду сильнее, поэтому вода в нём опускается, в левом поднимается, пока разность гидростатических давлений не уравновесит разность давлений пара. Количественно давление насыщенного пара подсказывает справка: вода кипит, когда давление насыщенного пара равно внешнему давлению, а на высоте 70 м внешнее давление ниже на вес столба воздуха.

Обозначения. \(H=70\text{ м}\), \(\rho_{\text{в}}=1{,}29\text{ кг/м}^3\) "— плотность воздуха при нормальных условиях, \(\rho=10^3\text{ кг/м}^3\) "— плотность воды, \(p_L\) и \(p_R\) "— давления пара в левом и правом коленах, \(\Delta h\) "— разность уровней.

1. Давление насыщенного пара и справка. На земле вода кипит при \(100\,{}^\circ\text{C}\), давление насыщенного пара при этом равно \(p_0\). На высоте \(H\) давление воздуха меньше на вес столба воздуха высотой \(H\) и сечением \(1\text{ м}^2\) (при нормальных условиях плотность воздуха \(\rho_{\text{в}}\) почти не меняется на таких высотах): \[\Delta p_H=\rho_{\text{в}}gH .\] Там вода кипит при температуре на \(0{,}25\,{}^\circ\text{C}\) ниже. Значит, понижение температуры от \(100\) до \(99{,}75\,{}^\circ\text{C}\) уменьшает давление насыщенного пара ровно на \(\Delta p_H\). На таком малом интервале давление насыщенного пара линейно зависит от температуры, поэтому при снижении на \(0{,}5\,{}^\circ\text{C}\) оно уменьшается вдвое сильнее: \[p_R-p_L=2\rho_{\text{в}}gH\approx2\cdot1{,}29\cdot9{,}8\cdot70\approx1{,}8\cdot10^{3}\text{ Па}.\]

2. Равновесие воды. Уровень воды в левом колене выше на \(\Delta h\). Давление в воде на уровне нижнего из двух свободных уровней (в правом колене) одно и то же слева и справа: слева оно равно \(p_L+\rho g\Delta h\), справа \(p_R\) (давлением столба пара пренебрегаем: плотность пара мала). Условие равновесия: \[p_R=p_L+\rho g\Delta h \;\Longrightarrow\; \Delta h=\frac{p_R-p_L}{\rho g}=\frac{2\rho_{\text{в}}H}{\rho}.\]

3. Число. \[\Delta h=\frac{2\cdot1{,}29\cdot70}{1000}\text{ м}\approx0{,}18\text{ м}=18\text{ см}.\] Ускорение свободного падения сократилось, поэтому знать \(g\) не нужно.

Обратите внимание. Размеры 60 и 80 см в условии нужны для проверки: уровни сместятся на \(\Delta h/2=9\) см каждый (площадь сечения колен одинакова, объём воды постоянен). Вода в левом колене поднимется на 9 см при 60 см свободной трубки, а в правом опустится на 9 см при 20 см прямой части ниже начального уровня (80 минус 60 см). Воздух в трубке считаем отсутствующим: при его наличии он сжимался бы и разность уровней была бы намного меньше.

Проверка. Размерность: \([\rho_{\text{в}}H/\rho]=\text{м}\). Предел: при равных температурах \(\Delta h=0\). Разумность: давление насыщенного пара у \(100\,{}^\circ\text{C}\) растёт примерно на \(3{,}5\) кПа на градус; по справке \(0{,}89\text{ кПа}/0{,}25\,{}^\circ\text{C}=3{,}5\text{ кПа}/{}^\circ\text{C}\) "— согласуется с таблицами.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.