Модель электрофорной машины

Полоски фольги по очереди попадают в два положения: против обкладок (они соединены перемычкой, и конденсаторы \(C_1\) работают как цепочка) и против токосъёмников \(T_1\), \(T_2\) (там они отдают заряд на \(C_0\)). За один такой полуоборот заряд на \(C_0\) растёт в одно и то же число раз.

\(U_N=U_0\left(\dfrac{C_0+C_1}{C_0+C_1/2}\right)^{2N}\).

Что происходит. В исходном положении полоска \(\Phi_1\) стоит против обкладки \(O_1\), полоска \(\Phi_2\) "— против \(O_2\), и токосъёмники \(T_3\), \(T_4\) перемычки касаются обеих полосок: полоски соединены между собой. Обкладка \(O_1\) подключена к «минусу» \(C_0\), а \(O_2\) "— к «плюсу», поэтому на полосках по индукции собирается заряд: \(+q\) на \(\Phi_1\) (против «минуса») и \(-q\) на \(\Phi_2\) (против «плюса»). Поворот по часовой стрелке уносит \(\Phi_1\) вверх к \(T_1\), а \(\Phi_2\) "— вниз к \(T_2\). \(T_1\) соединён с «плюсом», \(T_2\) "— с «минусом»: полоски отдают заряд на \(C_0\), и притом именно того знака, который уже есть на этой стороне. Заряд \(C_0\) растёт. Через пол-оборота картина повторяется с поменявшимися полосками. Главная идея: за каждые пол-оборота заряд узла растёт в одно и то же число раз.

Обозначения. \(V_k\) "— напряжение на \(C_0\) в исходном положении цилиндра (против обкладок) после \(k\) полуоборотов, \(V_0=U_0\); \(Q_k\) "— полный заряд «плюсового» узла (положительная обкладка \(C_0\), \(O_2\), \(T_1\)) в этом положении. Заряд полоски в положении против обкладок \(q_k\). Цилиндр непроводящий, полоски изолированы друг от друга, кроме моментов контакта.

1. Положение против обкладок. Полоски соединены перемычкой, суммарный заряд полосок равен нулю. Цепочка \(O_1\) "— \(\Phi_1\) "— перемычка "— \(\Phi_2\) "— \(O_2\) состоит из двух последовательных конденсаторов \(C_1\), она подключена параллельно \(C_0\) к тому же напряжению \(V\). Заряд на каждом из конденсаторов цепочки (последовательное соединение, заряды равны по модулю) равен \[q=\frac{C_1}{2}V .\] Эквивалентная ёмкость \(C_1/2\) включена параллельно \(C_0\), поэтому заряд «плюсового» узла \[Q=\Bigl(C_0+\frac{C_1}{2}\Bigr)V .\]

2. Поворот на \(90^\circ\) и передача заряда. Цилиндр поворачивают, полоски теряют контакт с перемычкой и уходят от обкладок: заряды \(+q\) на \(\Phi_1\) и \(-q\) на \(\Phi_2\) остаются на изолированных полосках. Затем \(\Phi_1\) касается \(T_1\), а \(\Phi_2\) "— \(T_2\). Ёмкость полосок к чему-либо мала, поэтому весь заряд \(+q\) с \(\Phi_1\) стекает на «плюсовой» узел, а \(-q\) с \(\Phi_2\) "— на «минусовый». Заряд «плюсового» узла увеличивается на \(q\): \[Q'=Q+q=\Bigl(C_0+\frac{C_1}{2}\Bigr)V+\frac{C_1}{2}V=(C_0+C_1)V .\]

3. Новое напряжение в исходном положении. Поворот на \(180^\circ\) приводит полоски в положение против обкладок, но в обратном порядке: \(\Phi_1\) против \(O_2\) и \(\Phi_2\) против \(O_1\). Это то же электрическое положение (перемычка снова соединяет полоски, \(T_3\) и \(T_4\) касаются другой пары концов), поэтому снова заряд узла делится между \(C_0\) и цепочкой \(C_1/2\) по закону пункта 1: \(Q'=\bigl(C_0+\tfrac{C_1}{2}\bigr)V'\). Отсюда \[V'=V\,\frac{C_0+C_1}{C_0+C_1/2}\equiv fV,\qquad f=\frac{C_0+C_1}{C_0+C_1/2}>1 .\] Напряжение растёт в \(f\) раз за пол-оборота.

4. После \(N\) оборотов. Один оборот "— два полуоборота, значит \(V_{2N}=U_0f^{2N}\): \[U_N=U_0\left(\frac{C_0+C_1}{C_0+C_1/2}\right)^{2N}=U_0\left(\frac{2C_0+2C_1}{2C_0+C_1}\right)^{2N}.\]

Обратите внимание. Напряжение сравнивается в одном и том же положении цилиндра "— в исходном, когда полоски стоят против обкладок. Если считать, что \(U_0\) было до первого присоединения полосок к \(C_0\), то в исходном положении напряжение \(U_0C_0/(C_0+C_1/2)\), и ответ получит этот множитель. Вращение против часовой стрелки дало бы обратное: \(\Phi_1\) ушла бы к \(T_2\) («минус») и забрала заряд, напряжение убывало бы.

Проверка. Пределы: при \(C_1\to0\) множитель \(f\to1\), напряжение не меняется "— полосок как будто нет; при \(C_1\gg C_0\) множитель \(f\to2\) "— заряд узла удваивается за пол-оборота. Закон сохранения заряда: заряд узла растёт ровно на \(q\), поступивший с полоски, а не появляется из ничего "— растущую энергию даёт работа внешней силы, которая раздвигает заряженные полоски и обкладки. На графике для \(C_1=C_0\) (\(f=4/3\)): после целого оборота напряжение \(U_0\cdot16/9\approx1{,}8\,U_0\), после трёх "— \(5{,}6\,U_0\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.