Монета на качающейся площадке

В системе отсчёта площадки (она движется поступательно, с ускорением \(\omega^2R\)) на монету действует сила инерции постоянной длины, вращающаяся с угловой скоростью \(\omega\). Если трения не хватает, чтобы удержать монету, она скользит, а сила трения скольжения имеет постоянную длину \(\mu mg\).

Если \(\omega^2R\le\mu g\), монета неподвижна относительно площадки и движется по окружности радиусом \(R\) с угловой скоростью \(\omega\); следа нет. Если \(\omega^2R>\mu g\), монета скользит: относительно земли равномерно движется по окружности радиусом \(r=\mu g/\omega^2\) с угловой скоростью \(\omega\), а на площадке вычерчивает окружность радиусом \(\rho=\sqrt{R^2-(\mu g/\omega^2)^2}\), обходя её с той же угловой скоростью \(\omega\) и в том же направлении.

Что происходит. Площадка не вращается: все её точки движутся по одинаковым окружностям с ускорением \(a_0=\omega^2R\) (к центру своей окружности). Покоящаяся на ней монета должна иметь такое же ускорение, его даёт сила трения покоя, не больше \(\mu mg\). Если \(\omega^2R>\mu g\), монета отстаёт, скользит, и на неё действует сила трения скольжения постоянной величины \(\mu mg\). Главная идея: при скольжении на монету в лабораторной системе действует лишь эта сила постоянной величины, а в системе площадки "— ещё и вращающаяся сила инерции.

Пункт 1. Монета не скользит (\(\omega^2R\le\mu g\)). Если монета неподвижна относительно площадки, то ей нужна сила \(m\omega^2R\) "— сила трения покоя. Она допустима, пока \(m\omega^2R\le\mu mg\). Тогда монета повторяет движение площадки: окружность радиусом \(R\), угловая скорость \(\omega\), следа на площадке нет.

Пункт 2. Скольжение (\(\omega^2R>\mu g\)). Перейдём в систему отсчёта площадки: она движется поступательно с ускорением \(\vec a_0\), поэтому система неинерциальна, и на монету действует сила инерции \(-m\vec a_0\) величиной \(m\omega^2R\). Вектор \(\vec a_0\) направлен к центру окружности, по которой движется точка площадки, и поворачивается с угловой скоростью \(\omega\), значит и сила инерции поворачивается с той же \(\omega\), не меняясь по величине. Сила трения скольжения направлена против скорости монеты \(\vec u\) относительно площадки, её величина \(\mu mg\) постоянна.

Установившееся движение в системе площадки. Пусть вектор \(\vec u\) тоже вращается с угловой скоростью \(\omega\) и имеет постоянную длину \(u\) (проверим, что так можно). Тогда ускорение монеты относительно площадки направлено перпендикулярно \(\vec u\) (к центру траектории) и равно \(\omega u\). Второй закон Ньютона в системе площадки в векторной форме: \(m\vec a_{\text{отн}}=\vec F_{\text{ин}}+\vec F_{\text{тр}}\). Векторы \(\vec F_{\text{тр}}\) и \(m\vec a_{\text{отн}}\) взаимно перпендикулярны, образуют вместе с \(\vec F_{\text{ин}}\) прямоугольный треугольник, где \(\vec F_{\text{ин}}\) "— гипотенуза: \[(m\omega u)^2+(\mu mg)^2=(m\omega^2R)^2 .\] Отсюда \(u=\sqrt{\omega^4R^2-\mu^2g^2}/\omega\).

След на площадке. Монета движется относительно площадки с постоянной по величине скоростью \(u\), вектор которой поворачивается с угловой скоростью \(\omega\): это равномерное движение по окружности с угловой скоростью \(\omega\), радиус которой \[\rho=\frac{u}{\omega}=\sqrt{R^2-\Bigl(\frac{\mu g}{\omega^2}\Bigr)^2}.\] Обходит она эту окружность в ту же сторону, в какую вращается движение площадки. Положение центра этой окружности на площадке зависит от того, откуда монета начала скользить.

Движение относительно земли. В лабораторной системе единственная горизонтальная сила "— трение скольжения, её величина \(\mu mg\) постоянна, поэтому ускорение монеты по величине равно \(\mu g\) и направлено вдоль \(-\vec u\). Вектор \(\vec u\) вращается с \(\omega\), значит и ускорение вращается с \(\omega\): скорость монеты постоянна по величине, а сама монета движется по окружности с угловой скоростью \(\omega\) и ускорением \(\omega^2r=\mu g\), откуда \[r=\frac{\mu g}{\omega^2}.\] Это окружность меньше окружности площадки: \(r<R\).

Обратите внимание. Три радиуса связаны теоремой Пифагора, \(R^2=r^2+\rho^2\): на рисунке точка \(P\) площадки, центр окружности монеты и сама монета образуют прямоугольный треугольник с прямым углом у монеты (расстояние между монетой и \(P\) постоянно и равно \(\rho\), оно перпендикулярно радиусу \(r\)). Выход на такой режим идёт не мгновенно: пока скорость \(\vec u\) не вышла на постоянную длину и вращение, движение переходное. Постоянная по длине сила инерции и постоянная по величине сила трения скольжения гасят отклонения, поэтому режим устойчив.

Проверка. При \(\omega^2R=\mu g\) получаем \(\rho=0\): след сжимается в точку, монета перестаёт скользить, что согласуется с пунктом 1. При \(\mu\to0\): \(r\to0\) (монета остаётся на месте в лабораторной системе), \(\rho\to R\) "— на площадке монета описывает окружность радиусом \(R\), как и должно быть: земля неподвижна, площадка проезжает под монетой.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.