Сверхпроводящая катушка

Сопротивление замкнутой сверхпроводящей катушки равно нулю, поэтому полный магнитный поток через неё не может измениться. Поток складывается из потока от катушки 1 и от собственного тока, и оба пропорциональны своим токам.

\(I_2=-0{,}6\,I_1\), то есть \(0{,}6\,I_1\) в направлении, противоположном току в катушке \(1\).

Что происходит. У замкнутой катушки из сверхпроводника сопротивление равно нулю. Закон Ома для неё: \(\mathcal{E}=-\dfrac{d\Phi}{dt}=IR=0\). Значит \(d\Phi/dt=0\): полный магнитный поток через катушку \(2\) сохраняется. Когда ток \(I\) в катушке \(1\) растёт, поток от неё через катушку \(2\) растёт, и в катушке \(2\) возникает ток, чей поток компенсирует это изменение. Главная идея: ток катушки \(2\) линейно зависит от изменения тока катушки \(1\).

Обозначения. \(I\) "— ток катушки \(1\) (меняется), \(I_2\) "— ток катушки \(2\), \(L_2\) "— индуктивность катушки \(2\), \(M\) "— взаимная индуктивность катушек (катушки закреплены, \(M\) и \(L_2\) постоянны).

1. Закон сохранения потока. Полный поток через катушку \(2\) равен \(\Phi=MI+L_2I_2\) (поток от катушки \(1\) плюс поток собственного тока). В начальный момент \(I=I_1\), \(I_2=0\), поэтому \(\Phi=MI_1\) и остаётся таким всё время, пока катушка сверхпроводящая: \[MI+L_2I_2=MI_1 \;\Longrightarrow\; I_2=-\frac{M}{L_2}\,(I-I_1).\] Знак минус: ток \(I_2\) направлен против тока катушки \(1\), когда \(I>I_1\) (правило Ленца).

2. Из первого опыта. При \(I=2I_1\): \(I_2=-\dfrac{M}{L_2}I_1\). По условию модуль тока \(0{,}2I_1\), поэтому \(M/L_2=0{,}2\). (Сами \(M\) и \(L_2\) неизвестны, нужно только их отношение.)

3. Второй опыт. Ток катушки \(1\) увеличивают ещё в два раза, от \(2I_1\) до \(4I_1\), то есть \(I=4I_1\). Тогда \[I_2=-0{,}2\,(4I_1-I_1)=-0{,}6\,I_1 .\]

Обратите внимание. Ток \(I_2\) пропорционален не самому току \(I\), а его изменению от начального \(I_1\): ток катушки \(1\) вырос втрое от исходного (\(4I_1-I_1=3I_1\)), а не вдвое, поэтому ответ не \(0{,}4I_1\), а \(0{,}6I_1\). Сверхпроводящий ток не затухает: при каждом значении \(I\) величина \(I_2\) определяется только им.

Проверка. Размерность: \(M/L_2\) безразмерно, \(I_2\) измеряется в амперах. Предел: при \(I=I_1\) ток \(I_2=0\), как в начальный момент. Второй способ "— по приращениям: \(\Delta I_2=-0{,}2\,\Delta I\); первое приращение \(\Delta I=I_1\) даёт \(-0{,}2I_1\), второе \(\Delta I=2I_1\) даёт ещё \(-0{,}4I_1\), всего \(-0{,}6I_1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.