Океан с постоянным g

Ускорение свободного падения зависит от массы под ногами и от расстояния до центра. Спускаясь на малую глубину, мы теряем массу тонкого водяного слоя и приближаемся к центру; «неизменно» значит, что оба эффекта сокращают друг друга.

\(g=2\pi G\rho_0 R\approx 2{,}7\text{ м/с}^2\) (\(\rho_0\) "— плотность воды, \(R\) "— радиус планеты).

Что происходит. Внутри океана на расстоянии \(r\) от центра ускорение свободного падения создаёт только масса \(M(r)\), лежащая ближе к центру: \(g=GM(r)/r^2\) (поле шарового слоя снаружи от точки внутри него равно нулю, поле шара "— как у точки). Когда мы опускаемся на малую глубину, \(M\) уменьшается на массу срезанного водяного слоя, а \(r\) уменьшается тоже. Первое уменьшает \(g\), второе увеличивает. Главная идея: \(g\) не меняется, значит изменения сокращаются, и это однозначно определяет полную массу планеты.

Обозначения. \(R=6400\text{ км}\) "— радиус планеты (поверхности океана), \(h=10\text{ км}\) "— глубина океана, \(\rho_0=1000\text{ кг/м}^3\) "— плотность воды, \(M\) "— масса всей планеты вместе с океаном, \(g=GM/R^2\) "— ускорение на поверхности.

1. Масса слоя. Опустимся от поверхности на малую глубину \(\Delta r\ll R\). Срезанный слой воды "— тонкая оболочка площадью \(4\pi R^2\) и толщиной \(\Delta r\), его масса \(\Delta M=4\pi R^2\rho_0\Delta r\). Под новой точкой остаётся масса \(M-\Delta M\) на расстоянии \(R-\Delta r\) от центра.

2. Условие постоянства \(g\). Ускорение внутри океана на глубине \(\Delta r\) равно ускорению на поверхности: \[\frac{G(M-\Delta M)}{(R-\Delta r)^2}=\frac{GM}{R^2} \;\Longrightarrow\; \Bigl(1-\frac{\Delta M}{M}\Bigr)\Bigl(1+\frac{2\Delta r}{R}\Bigr)=1 .\] Здесь использовано \((1-\Delta r/R)^{-2}\approx1+2\Delta r/R\) при \(\Delta r\ll R\). Отбрасывая произведение малых величин, получаем \(\Delta M/M=2\Delta r/R\).

3. Масса планеты. Подставим \(\Delta M=4\pi R^2\rho_0\Delta r\): \[\frac{4\pi R^2\rho_0\Delta r}{M}=\frac{2\Delta r}{R} \;\Longrightarrow\; M=2\pi\rho_0R^3 .\] Масса планеты определена, хотя ничего о недрах мы не знали.

4. Ускорение на поверхности. \[g=\frac{GM}{R^2}=2\pi G\rho_0R .\] Числом: \(g=2\cdot3{,}14\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot10^{3}\cdot6{,}4\cdot10^{6}\approx2{,}7\text{ м/с}^2\).

Обратите внимание. Радиус \(h=10\) км нужен лишь для проверки: условие \(\Delta r\ll R\) выполнено (\(h/R\approx1{,}6\cdot10^{-3}\)). Плотность и строение ядра в ответ не входят, достаточно, чтобы вода была вокруг. Точность условия \(10^{-5}\) ограничивает \(M\): если \(M=2\pi\rho_0R^3(1+\varepsilon)\), то изменение \(g\) на всей глубине равно \(2\varepsilon h/R\cdot g\), откуда \(|\varepsilon|\lesssim10^{-5}R/(2h)\approx3\cdot10^{-3}\), то есть ответ верен до трёх десятых процента.

Проверка. Размерность: \([G\rho R]=\dfrac{\text{м}^3}{\text{кг}\cdot\text{с}^2}\cdot\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot\text{м}=\text{м/с}^2\). Второй способ "— через разложение: при \(M=2\pi\rho_0R^3\) ускорение внутри океана \(g(r)=GM(r)/r^2\) имеет вид \(A/r^2+Br\), \(B=\tfrac43\pi G\rho_0\), с нулевой производной у поверхности, и отличается от \(g\) на глубине \(z\) лишь на \((z/R)^2\cdot g\); для \(z=h\) это \(2{,}4\cdot10^{-6}\), то есть меньше \(10^{-5}\) (график ниже). Средняя плотность планеты \(M/(\tfrac43\pi R^3)=1{,}5\rho_0\) "— разумное значение.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.