Астероид со сферической полостью

Заполните полость мысленно веществом той же плотности и вычтите его вклад. Поле внутри однородного шара линейно растёт от центра, и полость даёт вклад, одинаковый по всей полости.

1. Заполним мысленно полость веществом плотностью, равной плотности астероида \(\rho\). Это дополнительное вещество не окажет никакого влияния на ускорение свободного падения в точке \(S\): однородная сфера создаёт в центре ускорение свободного падения, равное нулю. Таким образом, \(g_S\) совпадает с ускорением свободного падения на глубине \(r\) внутри однородного астероида радиуса \(R\). На тело массой \(m\), помещённое в эту точку, действует сила тяготения со стороны внутренних слоёв астероида: \[F = G\rho\cdot\frac43\pi(R - r)^3\cdot\frac{m}{(R - r)^2} = G\rho\cdot\frac43\pi(R - r)m.\] Следовательно, \[g_S = \frac43\pi G\rho(R - r). \tag{1}\] Отметим, что в векторном виде можно записать \[\vec g_S = -\frac43\pi G\rho\cdot\overrightarrow{OS}. \tag{2}\] Плотность астероида оказывается, таким образом, равна \[\rho = \frac{g_S}{\frac43\pi G(R - r)} \simeq 2{,}4\cdot 10^3\text{ кг/м}^3.\] 2. Пусть \(K\) — другая точка внутри рассматриваемой полости. Исследуем вектор ускорения свободного падения \(\vec g\) в этой точке. Разместим в этой точке тело массой \(m\). Если мысленно заполнить полость веществом плотностью \(\rho\), на тело, аналогично (3), будет действовать сила тяготения \(\vec F_1 = -\frac43\pi G\rho m\cdot\overrightarrow{OK}\). При этом сила тяготения со стороны вещества, которым мысленно заполнена полость, равна \(\vec F_2 = -\frac43\pi G\rho m\cdot\overrightarrow{SK}\). Следовательно, до заполнения полости сила тяготения была равна \[\vec F_1 - \vec F_2 = -\frac43\pi G\rho m\cdot\left(\overrightarrow{OK} - \overrightarrow{SK}\right) = -\frac43\pi G\rho m\cdot\overrightarrow{OS}.\] Поэтому во всех точках внутри полости (в том числе в точках A, B, C, D) вектор ускорения свободного падения оказывается равен \(\vec g = -\frac43\pi G\rho\cdot\overrightarrow{OS}\), то есть \(\vec g_S\).

3. В точке \(E\) модули сил \(F_1\) и \(F_2\) (см. предыдущий пункт), направленных к центру астероида, равны \[F_1 = \frac43\pi G\rho mR; \qquad F_2 = G\rho\cdot\frac43\pi r^3\cdot\frac{m}{(R + r)^2}.\] Следовательно, до заполнения полости сила тяготения была равна \(F_1 - F_2 = \frac43\pi G\rho m\left(R - \frac{r^3}{(R + r)^2}\right)\). Поэтому ускорение свободного падения в точке \(E\) равно \[g_E = \frac43\pi G\rho\left(R - \frac{r^3}{(R + r)^2}\right) = g_S\frac1{R - r}\left(R - \frac{r^3}{(R + r)^2}\right) = 0{,}32\text{ см/с}^2.\] Сами векторы ускорения свободного падения изображены на рисунке: