Шахта по хорде планеты

Внутри однородного шара сила тяжести пропорциональна расстоянию до центра. Сила трения в шахте постоянна, так как проекция силы тяжести на поперечное направление не меняется. Движение получается гармоническим со сдвинутым положением равновесия.

Тело не будет падать в шахту, если проекция силы тяжести на направление шахты не «побеждает» силу трения, т.е. при \(k \ge \operatorname{tg}(\alpha/2)\). Иначе тело движется.

Пусть тело находится на расстоянии \(r\) от центра планеты. Сила притяжения к слоям планеты внутри радиуса \(r\) даёт \[F = G\frac{mM(r)}{r^2} = mg\,\frac{r}{R},\] где \(R\) — радиус планеты, \(g\) — ускорение свободного падения на её поверхности; сила направлена к центру планеты.

Второй закон Ньютона в проекциях на оси, направленные вдоль и перпендикулярно шахте, даёт \[N = mg\,\frac{r\sin\beta}{R}, \qquad m a_x = mg\,\frac{r\cos\beta}{R} - F_{\text{тр}} .\] Но \(r\sin\beta = R\cos(\alpha/2)\) не меняется в процессе движения, поэтому и сила трения \(F_{\text{тр}} = kN = kmg\cos(\alpha/2)\) остаётся неизменной. Поскольку \(r\cos\beta = -x\), второе уравнение даёт \[m a_x = -mg\,\frac{x}{R} - kmg\cos(\alpha/2).\] Это уравнение колебаний груза на вертикальной пружине в поле тяжести: движение — гармоническое относительно сдвинутого положения равновесия на величину \[\Delta x = \frac{kmg\cos(\alpha/2)}{mg/R} = kR\cos(\alpha/2).\] Если сдвиг положения равновесия больше половины расстояния от тела до начала координат, тело никогда не достигнет начала координат, т.е. \[kR\cos(\alpha/2) < R\sin(\alpha/2)/2 \quad\Rightarrow\quad k < \frac{\sin(\alpha/2)}{2\cos(\alpha/2)} .\] Учитывая, что начальная скорость тела равна нулю, имеем \(x(t) = A\cos\omega t - kR\cos(\alpha/2)\), где \(\omega = \sqrt{g/R}\), а \(A\) находим из начальных условий: \(x(0) = -R\sin(\alpha/2)\). Получаем \[x(t) = -R\bigl(\sin(\alpha/2) - k\cos(\alpha/2)\bigr)\cos\omega t - kR\cos(\alpha/2),\] причём выражение в скобках должно быть положительным, иначе сила трения не даст двигаться телу. Отсюда момент времени, когда тело окажется на минимальном расстоянии от центра планеты: \[t_1 = \sqrt{\frac{R}{g}}\,\arccos\!\left(-\frac{k\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2) - k\cos(\alpha/2)}\right).\] При нарушении любого из неравенств \(k < \operatorname{tg}(\alpha/2)\), \(k < \dfrac{\sin(\alpha/2)}{2\cos(\alpha/2)}\) задача теряет смысл — тело не попадёт в точку \(x = 0\).