Стержень на нити погружают в воду

Вертикальное положение стержня теряет устойчивость, когда момент силы Архимеда относительно точки подвеса становится не меньше момента силы тяжести. Найдите глубину, при которой это происходит.

В процессе погружения на стержень действуют силы тяжести, Архимеда и натяжения нити. В начале погружения стержень располагается вертикально, в конце — плавает в горизонтальном положении на поверхности воды. Поэтому максимальной глубиной погружения нижнего конца будет та глубина, при которой стержень перестанет располагаться вертикально.

Вертикальное положение стержня устойчиво, пока при малом его отклонении от вертикали возникают возвращающие моменты. При малом отклонении моменты сил тяжести и Архимеда относительно точки крепления нити становятся такими, что устойчивость пропадает, когда момент силы Архимеда не станет больше момента силы тяжести. Сила тяжести приложена к центру тяжести всего стержня, а сила Архимеда — к центру тяжести погружённой части. Получаем условие \[\rho_0\, x\left(l - \frac{x}{2}\right) = \rho\, l\,\frac{l}{2},\] где \(\rho\) и \(\rho_0\) — плотности стержня и воды, \(x\) — глубина погружения стержня в воду, \(l\) — его длина. Решая квадратное уравнение, находим \[x = l\left(1 - \sqrt{1 - \frac{\rho}{\rho_0}}\right) = \frac{l(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}} .\] Условие моментов не зависит от угла наклона стержня, поэтому при дальнейшем погружении он будет располагаться под некоторым углом к вертикали, который увеличивается с опусканием верхнего конца. Так как после достижения глубины \(x\) стержень располагается под углом к вертикали, эта величина — максимальная глубина погружения нижнего конца стержня.