Тело в сосуде

Тело плавает: на него действует сила Архимеда, равная его весу. Эта же сила давит на жидкость вниз, поэтому вес жидкости с телом больше прежнего на \(mg\).

\(\Delta h=\dfrac{m}{\rho S}\).

Что происходит. Тело плавает, значит, сила Архимеда уравновешивает его силу тяжести. По третьему закону Ньютона тело давит на жидкость вниз с такой же силой \(mg\), и дно сосуда должно нести этот добавочный вес. Внутреннее устройство тела (пустоты, тяжёлые вкрапления) и его форма не нужны: нужна только масса.

Обозначения. \(h_0\) — прежний уровень, \(\Delta h\) — подъём уровня после опускания тела, \(S\) — площадь дна.

1. Равновесие тела. Тело покоится и не тонет. Второй закон Ньютона для тела в проекции на вертикаль: \(F_{\text{А}}-mg=0\), откуда \(F_{\text{А}}=mg\).

2. Сила давления на дно. Добавочная сила давления на дно равна добавочному весу всего, что лежит на дне: жидкости и плавающего тела. Жидкости не прибавили, прибавили тело массой \(m\). Значит, сила давления на дно выросла на \(mg\).

3. Та же величина через уровень. Тело плавает и само на дно не давит. Давление в жидкости на глубине \(z\) равно \(\rho g z\) (атмосферное давление в обоих случаях действует одинаково), и после подъёма уровня на \(\Delta h\) давление на дне стало больше на \(\rho g\,\Delta h\). Площадь дна постоянна, потому сила давления на дно выросла на \(\rho g\,\Delta h\cdot S\).

4. Приравниваем. Закон один — добавка силы давления на дно из шагов 2 и 3 — записан двумя способами: \[mg=\rho g\,\Delta h\,S\quad\Rightarrow\quad \Delta h=\frac{m}{\rho S}.\]

Второй способ. Плавающее тело вытесняет жидкость массой \(m\), то есть объём \(V_{\text{п}}=m/\rho\) (иначе \(F_{\text{А}}=\rho g V_{\text{п}}=mg\)). Вытесненный объём превращается в слой \(S\,\Delta h\) над прежним уровнем: \(S\,\Delta h=m/\rho\).

Обратите внимание: уровень поднимается не на объём тела, а на объём вытесненной жидкости \(m/\rho\). Сам объём тела (с пустотами, неоднородностями) в ответ не входит. Для тонущего тела было бы \(\Delta h=V_{\text{т}}/S\), где \(V_{\text{т}}\) — его полный объём.

Ответ. В буквах: \(\Delta h=\dfrac{m}{\rho S}\); уровень поднимется.

Проверка. Размерность: кг\(\,/\,(\text{кг/м}^3\cdot\text{м}^2)=\) м. Знак: \(\Delta h>0\) — уровень растёт. Предел \(m\to0\): \(\Delta h\to0\) — пустого тела нет.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.