Разрезанная линза

Каждая половинка — линза с тем же \(F\), но своим оптическим центром на кромке разреза. Постройте изображение точки отдельно в каждой половинке по двум лучам: через оптический центр и через передний фокус.

Два точечных изображения, симметричных относительно оси: на расстоянии \(f=\dfrac{dF}{d-F}\) от линзы и на расстоянии \(y=\delta\dfrac{d}{d-F}\) по обе стороны от оси (\(\delta\) — половина зазора между половинками); каждое вдвое слабее, чем изображение целой линзой.

Что происходит. Форма поверхностей половинок не изменилась, значит, каждая половинка преломляет лучи по тому же закону, что и целая линза, и имеет то же фокусное расстояние \(F\). Поэтому каждая половинка строит своё изображение точки, и изображений будет два. У каждой половинки свой оптический центр: он лежит на её кромке разреза, поэтому после раздвигания оптические центры уходят с главной оси.

Обозначения. Зазор между половинками \(2\delta\): оптический центр верхней половинки \(O\) лежит на расстоянии \(\delta\) выше оси, нижней \(O'\) — на \(\delta\) ниже. Точка \(S\) — на оси на расстоянии \(d\) от линзы. Лучи считаем параксиальными. Для рисунка: \(F=2\), \(d=5\), \(\delta=0{,}5\) (в условных единицах).

1. Правила построения. Для каждой половинки её главная оптическая ось — горизонталь через оптический центр. Луч через оптический центр не преломляется; луч, прошедший через передний фокус половинки, выходит из неё параллельно её главной оси. Так мы строим изображение только по законам тонкой линзы.

2. Верхняя половинка. Луч \(SO\) идёт по прямой, проходящей через \(S=(-d,0)\) и \(O=(0,\delta)\): \(y=\delta\,(x+d)/d\). Луч из \(S\) через передний фокус \((-F,\delta)\) идёт по \(y=\delta\,(x+d)/(d-F)\); на линзе он имеет высоту \(\delta d/(d-F)\), а после линзы идёт горизонтально. Пересечение двух лучей — изображение \(S'\). Горизонталь на высоте \(y=\delta d/(d-F)\) пересекает луч \(SO\) при \(y=\delta(x+d)/d\), то есть при \[x=f=\frac{d\,F}{d-F},\qquad y_1=\frac{\delta\,d}{d-F}.\] Расстояние \(f\) — то же, что даёт формула тонкой линзы \(\dfrac1d+\dfrac1f=\dfrac1F\), а вот высота изображения над осью целой линзы теперь не нуль, а \(y_1\).

3. Нижняя половинка. Всё то же зеркально: \(S''\) в точке \(x=f\), \(y=-y_1\).

4. Яркость. Каждая половинка собирает половину светового потока, который шёл через целую линзу, поэтому каждое изображение вдвое слабее изображения целой линзой.

5. Где изображения. Так как \(d>2F\), то \(F<f<2F\) и \(1<d/(d-F)<2\). Значит, расстояние между изображениями \(2y_1\) больше зазора \(2\delta\), но меньше \(4\delta\): изображения расположены дальше от оси, чем половинки линзы. На рисунке \(f=10/3\approx3{,}33\), \(y_1=5/6\approx0{,}83\).

Обратите внимание: изображение не <<половинчатое>> и между ними нет пропуска: каждая половинка даёт полное изображение точки. Яркость падает вдвое, а резкость не страдает (для параксиальных лучей). Изображения расположены не на оси и не между половинками.

Ответ. Вместо одной светящейся точки видны две, симметричные относительно главной оси, на расстоянии \(f=dF/(d-F)\) от линзы; каждая лежит по ту же сторону оси, что и своя половинка, на расстоянии \(y_1=\delta\,d/(d-F)\) от неё; каждая вдвое слабее изображения целой линзой.

Проверка. Размерность: \(y_1\) — длина. Предел \(\delta\to0\): \(y_1\to0\), изображения сливаются в одно на оси, как у целой линзы. Предел \(d\to\infty\): \(f\to F\), \(y_1\to\delta\) — пучок, идущий вдоль оси, проходит от оси своей половинки на расстоянии \(\delta\) и собирается в её фокальной плоскости ровно на расстоянии \(\delta\) от оси этой половинки.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.