Линза для мнимого увеличенного изображения

Действительное изображение, которое даёт система, для новой линзы — предмет. Собирающая линза даёт мнимое увеличенное изображение, если предмет ближе фокуса. Постройте ход луча, параллельного оси, и луча через центр.

За прежним изображением, на расстоянии \(d=\frac34F=18{,}75\) см от него; мнимое изображение окажется на \(75\) см от линзы (на стороне прежнего изображения).

Что происходит. Прежнее изображение \(AB\) — действительное, его можно считать предметом для новой линзы. Собирающая линза даёт мнимое прямое изображение, увеличенное в \(\Gamma\) раз, если предмет находится между линзой и фокусом, и тогда \(\Gamma=\dfrac{F}{F-d}\). Остаётся подобрать расстояние \(d\) от линзы до \(AB\), при котором \(\Gamma=4\). Линзу ставят за прежним изображением (со стороны, противоположной системе), иначе пучок станет ещё более сходящимся и изображение получится действительным.

Обозначения. \(O\) — линза, \(F\) и \(F'\) — её фокусы, \(F=25\) см; \(d=OA\) — расстояние от линзы до \(AB\), \(b\) — до мнимого изображения \(A'B'\).

1. Построение. Ставим линзу правее \(AB\). Луч из \(B\) параллельно оси после линзы проходит через правый фокус \(F\); его продолжение назад (пунктир) — прямая через точку на линзе на высоте \(AB\) и через \(F\). Луч из \(B\) через центр \(O\) не преломляется. Мнимое изображение лежит там, где пересекаются продолжения обоих лучей. Высота \(A'B'\) должна быть равна \(4AB\): на прямой через \(O\) (\(y=-4h\,x/b\)) и \(F\)-луч (\(y=h\,(1-x/F)\), \(x<0\) — слева от линзы) условие \(y=4h\) даёт положение: \(4=1+\dfrac{b}{F}\), \(b=3F=75\) см.

2. Расстояние до предмета. Луч через центр идёт из \(B'\) в \(B\) по прямой, поэтому \(\dfrac{d}{b}=\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac14\), откуда \(d=\dfrac{b}{4}=\dfrac{3F}{4}=18{,}75\) см.

3. Проверка формулой. Для мнимого изображения \(\dfrac1d-\dfrac1b=\dfrac1F\). Подставим: \(\dfrac{1}{18{,}75}-\dfrac1{75}=\dfrac{4-1}{75}=\dfrac1{25}\) см\(^{-1}\) — верно, и \(\Gamma=b/d=4\).

Обратите внимание: такая линза работает как лупа: предмет ближе фокуса. Если поставить линзу дальше фокуса от \(AB\), изображение будет действительным.

Ответ. Линзу надо поставить за изображением на расстоянии \(d=\frac34F=18{,}75\) см от него; мнимое изображение — на \(75\) см от линзы, увеличено в 4 раза.

Проверка. Предел: при \(d\to F\) получаем \(\Gamma\to\infty\), при \(d\to0\) — \(\Gamma\to1\); \(\Gamma=\dfrac{F}{F-d}=\dfrac{25}{6{,}25}=4\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.