Кастрюля и стержень

Стержень неподвижен, кастрюля всплывает и надвигается на него. Что делает вытесненная стержнем вода и какая сила от неё действует на кастрюлю? В какой момент кастрюля перестанет всплывать?

График — ломаная из двух прямых: \(h=h_0+\dfrac{S_{\text{ст}}\,m}{\rho S\,(S_{\text{с}}-S_{\text{ст}})}\) при \(m\le m_1\) (кастрюля всплывает, стержень входит в воду кастрюли) и \(h=h_1+\dfrac{m-m_1}{\rho\,(S_{\text{с}}-S)}\) при \(m\ge m_1\) (стержень упёрся в дно, кастрюля неподвижна); вторая прямая круче первой.

Что происходит. Кастрюля с водой плавает, стержень закреплён и касается воды в ней. Пока наливают воду, кастрюля стремится всплыть, и стержень всё глубже входит в воду кастрюли. Он вытесняет воду; вытесненная вода давит на стержень вверх (сила Архимеда), а значит, стержень давит на воду и через неё на кастрюлю вниз. Поэтому кастрюля поднимается медленнее, чем уровень в сосуде, и расстояние от дна до уровня растёт. Когда стержень дойдёт до дна кастрюли, она остановится: дальше глубина погружения дна растёт вместе с уровнем.

Обозначения. \(\rho\) — плотность воды, \(S\) — площадь сечения кастрюли (стенки тонкие), \(S_{\text{ст}}<S\) — сечение стержня, \(S_{\text{с}}>S\) — сечение сосуда. \(M\) — масса кастрюли вместе с налитой в неё водой, \(h\) — расстояние от дна кастрюли до уровня воды в сосуде (глубина погружения дна), \(h_0=M/(\rho S)\) — его значение в начале, \(m\) — масса налитой в сосуд воды, \(\ell_0\) — начальная глубина воды в кастрюле, \(x\) — на сколько поднялась кастрюля, \(d\) — на сколько стержень погружён в воду кастрюли.

1. Равновесие кастрюли с водой. Рассмотрим систему «кастрюля + вода в ней». Вертикальные силы: вес \(Mg\); сила давления воды снизу \(\rho ghS\) (атмосферное давление действует и сверху, и снизу, силы сокращаются); сила от стержня: он погружён в воду кастрюли на \(d\) и давит на неё на площади \(S_{\text{ст}}\) сверху, добавляя \(\rho gdS_{\text{ст}}\) вниз. Равновесие: \[Mg+\rho g\,dS_{\text{ст}}=\rho g\,hS\;\Rightarrow\;h=h_0+\frac{S_{\text{ст}}}{S}\,d .\]

2. Погружение стержня. Объём воды в кастрюле не меняется: \(S\ell_0\). Кастрюля поднялась на \(x\), стержень остался на месте, поэтому он оказался ниже начального уровня воды относительно дна на \(x\). Если уровень воды в кастрюле стоит на высоте \(H_{\text{в}}\) над дном, то \(d=H_{\text{в}}-(\ell_0-x)\), а объём воды \(SH_{\text{в}}-S_{\text{ст}}d=S\ell_0\). Из этих двух равенств \(S\,(d+\ell_0-x)-S_{\text{ст}}d=S\ell_0\), отсюда \[d=\frac{S}{S-S_{\text{ст}}}\,x .\]

3. Связь глубины и уровня. Пусть уровень воды в сосуде поднялся на \(\Delta L\). Дно кастрюли поднялось на \(x\), поэтому глубина \(h\) изменилась на \(\Delta h=\Delta L-x\). Из пунктов 1–2 \(\Delta h=\dfrac{S_{\text{ст}}}{S-S_{\text{ст}}}\,x\). Решая вместе, получаем \[\Delta h=\frac{S_{\text{ст}}}{S}\,\Delta L,\qquad x=\Bigl(1-\frac{S_{\text{ст}}}{S}\Bigr)\Delta L .\]

4. Налитая вода и глубина (первый участок). Объём воды вне кастрюли равен \(S_{\text{с}}L-Sh\) (\(L\) — уровень над дном сосуда, \(Sh\) — объём погружённой части кастрюли). При изменении: \(\dfrac{\Delta m}{\rho}=S_{\text{с}}\Delta L-S\Delta h=(S_{\text{с}}-S_{\text{ст}})\Delta L\). Значит \[\Delta h=\frac{S_{\text{ст}}}{S}\cdot\frac{\Delta m}{\rho\,(S_{\text{с}}-S_{\text{ст}})} :\] глубина растёт линейно с налитой массой, медленно.

5. Конец первого участка. Стержень достигает дна, когда \(x=\ell_0\). Тогда \(\Delta L_1=\dfrac{S\ell_0}{S-S_{\text{ст}}}\), и \[h_1=h_0+\frac{S_{\text{ст}}\ell_0}{S-S_{\text{ст}}},\qquad m_1=\rho\,(S_{\text{с}}-S_{\text{ст}})\,\frac{S\ell_0}{S-S_{\text{ст}}} .\]

6. Второй участок. Стержень на дне: кастрюля неподвижна, поэтому \(\Delta h=\Delta L\), а \(\dfrac{\Delta m}{\rho}=(S_{\text{с}}-S)\Delta L\). Значит \(h=h_1+\dfrac{m-m_1}{\rho\,(S_{\text{с}}-S)}\).

Обратите внимание: наклон второго участка больше первого. Сравним \(\dfrac1{S_{\text{с}}-S}\) и \(\dfrac{S_{\text{ст}}}{S\,(S_{\text{с}}-S_{\text{ст}})}\): разность числителей после приведения к общему знаменателю равна \(S_{\text{с}}\,(S-S_{\text{ст}})>0\). График строим по этим формулам для \(S:S_{\text{ст}}:S_{\text{с}}=2:1{,}2:4\), \(\ell_0=1\), \(h_0=1{,}3\) (условные единицы): \(h_1=2{,}8\), \(m_1=7\).

Ответ. Ломаная из двух отрезков: \(h=h_0+\dfrac{S_{\text{ст}}\,m}{\rho S\,(S_{\text{с}}-S_{\text{ст}})}\) при \(0\le m\le m_1\), затем \(h=h_1+\dfrac{m-m_1}{\rho\,(S_{\text{с}}-S)}\) при \(m\ge m_1\); излом при \(m_1=\rho\,(S_{\text{с}}-S_{\text{ст}})\dfrac{S\ell_0}{S-S_{\text{ст}}}\), на втором отрезке график круче.

Проверка. Размерность: \(m/(\rho S)\) — длина. Предел \(S_{\text{ст}}\to0\): стержень не мешает, первый участок — горизонталь \(h=h_0\) (кастрюля свободно всплывает, глубина не меняется), \(m_1\to\rho S_{\text{с}}\ell_0\). Предел \(S_{\text{ст}}\to S\): наклон первого участка становится \(\dfrac1{\rho(S_{\text{с}}-S)}\), как у второго, — стержень сразу держит кастрюлю.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.