Груз на краю льдины

Груз массой \(M\), помещённый в центр льдины, заставляет её почти полностью погрузиться в воду, и при этом смещение центра масс льдины в вертикальном направлении составляет, очевидно, одну десятую часть её толщины \(H\). Груз массой \(m\), если его поместить в центр льдины, заставит её погрузиться на \(\Delta h_1 = \dfrac{m}{M}\cdot\dfrac{H}{10}\). Если теперь переместить этот груз на середину ребра прямоугольной льдины, имеющего длину \(l\), то смещение её центра масс по отношению к уровню воды практически не изменится и останется равным \(\Delta h_1\), а сама льдина наклонится от горизонтального положения на некоторый угол \(\alpha\). Сумма сил и сумма моментов сил, действующих на льдину, в положении равновесия равны нулю, а её край с грузом \(m\) находится на уровне воды. Обозначим длину ребра льдины, соседнего с ребром, на котором лежит груз, через \(L\). Поскольку по условию \(H \ll L\), а края льдины не погрузились под воду, то угол наклона льдины мал: \(\alpha \ll 1\). При таком наклоне суммарная сила, действующая на льдину со стороны воды, практически не изменяется, но на льдину со стороны воды начинает действовать момент выталкивающих сил, поскольку с одной стороны от центра масс нижняя поверхность льдины дополнительно погружается в воду, а с другой — поднимается. Для вычисления этого момента относительно центра льдины масс необходимо просуммировать моменты сил, действующих на полоски нижней (подводной) части льдины, расположенные на расстояниях \(-L/2 \leqslant x \leqslant L/2\) от центра масс. На полоску шириной \(\Delta x\) и длиной \(l\), погрузившуюся дополнительно на глубину \(\alpha x\), действует дополнительная выталкивающая сила \(\rho g\alpha xl\Delta x\), так что её момент равен \(\rho g\alpha lx^2\Delta x\), а искомый суммарный момент выталкивающих сил равен \(\alpha\rho glL^3/12\). Здесь \(\rho\) — это плотность воды.

Этот момент выталкивающих сил, действующий на льдину со стороны воды, уравновешивает момент силы относительно центра масс льдины, действующий на неё со стороны груза массой \(m\) и равный, очевидно, \(mgL/2\). Таким образом, в положении равновесия должно выполняться соотношение: \(\alpha\rho glL^3/12 = mgL/2\). Отсюда находим связь между \(m\), \(\alpha\) и величиной \(\Delta h_2\) дополнительного опускания края льдины за счёт её наклона: \(\Delta h_2 = \alpha L/2 = 3m/(\rho lL)\).

Вместе с опусканием центра масс по вертикали на величину \(\Delta h_1\) общее вертикальное смещение края льдины с лежащим на нём грузом не должно быть больше, чем \(H/10\). Запишем это условие в виде неравенства: \[\Delta h_1 + \Delta h_2 = \dfrac{mH}{10M} + \dfrac{3m}{\rho lL} < \dfrac{H}{10}.\] Учтём, что \(M = \rho SlH/10\). Отсюда найдём, что на краю льдины в середине её ребра можно разместить груз массой \(m < M/4\).

Заметим, что такой груз можно положить на середину любого из верхних рёбер льдины, так как их длины \(l\) и \(L\) входят в полученное неравенство в виде произведения.