Эллиптическое колесо

По условию эллиптическое колесо мало отличается от круглого: \(\delta = a - b = 1\) см \(\ll R = (a + b)/2 \approx 50\) см, поэтому можно пренебречь неравномерностью вращения колеса и считать, что при качении его скорость \(v \approx \omega R\), а зависимость вертикальной координаты \(y\) центра масс колеса от времени \(t\) имеет вид: \(y = \dfrac{\delta}{2}\cos 2\omega t\). Здесь учтено, что за один оборот колеса \(y\) дважды проходит через максимум, и начало отсчёта координаты \(y\) помещено на высоте \(R\) над дорогой. Колесо начнёт подпрыгивать тогда, когда при качении максимальная величина проекции ускорения его центра масс на вертикаль превысит ускорение свободного падения. Поскольку проекция ускорения \(a_y\) — это вторая производная от соответствующей координаты, то \(a_y = y'' = -2\delta\omega^2\cos 2\omega t\), и \(|(a_y)_{\max}| = 2\delta\omega^2 > g\). Отсюда угловая скорость колеса \(\omega > \sqrt{\dfrac{g}{2\delta}}\), и искомая скорость его качения \(v > R\sqrt{\dfrac{g}{2\delta}} \approx 11\) м/с.