Радиус кривизны траектории

Скорость внизу найдите из закона сохранения энергии, а второй закон Ньютона для движения по окружности требует радиуса кривизны параболы в вершине. Его можно найти, сравнив параболу с окружностью вблизи вершины.

\(N = mg\left(1 + \dfrac{16H^2}{L^2}\right)\).

Угловая скорость поворота вектора скорости равна \(a_\perp/v\), где \(a_\perp\) — нормальная составляющая ускорения. Когда она максимальна?

\(2\) рад/с.

При качении с постоянной скоростью ускорение точки обруча такое же, как при вращении вокруг оси в системе, движущейся со скоростью оси. Радиус кривизны найдите как \(v^2/a_\perp\).

a) \(r_A = 2\sqrt2 R \approx 40\) см;  b) \(r_B = 2R \approx 28\) см.

Ускорение точки \(A\) в системе, движущейся со скоростью оси, и в лабораторной системе одинаковое. Оно равно \(a_A = \omega^2 R\) и направлено горизонтально (\(\omega\) "— угловая скорость). Скорость точки \(A\) равна \(v_A = \omega R\sqrt2\) и направлена под углом \(\dfrac{\pi}{4}\) к горизонтали. Радиус кривизны траектории определяется из соотношения \[r_A = \frac{v_A^2}{a_A^{(\perp)}} = \frac{v_A^2\sqrt2}{a_A},\] где \(a_A^{(\perp)}\) "— проекция ускорения на направление, перпендикулярное скорости. Таким образом, ответ: \(r_A = 2\sqrt2 R \approx 40\) см.

Рассуждая так же, как в пункте a), можно получить для радиуса кривизны траектории точки \(B\) соотношение \[r_B = 4R\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\varphi}{2}\right),\] из которого следует ответ: \(r_B = 2R \approx 28\) см.

Радиус кривизны равен \(v^2/a_\perp\), где \(a_\perp\) — нормальная к траектории составляющая ускорения. Ускорение точки обруча проще найти в системе отсчёта, движущейся со скоростью оси.

1) \(r_A = 2\sqrt2 R \approx 40\) см;  2) \(r_B = 2R \approx 28\) см.

Ускорение точки \(A\) в системе, движущейся со скоростью оси, и в лабораторной системе одинаковое. Оно равно \(a_A = \omega^2 R\) и направлено горизонтально (\(\omega\) — угловая скорость). Скорость точки \(A\) равна \(v_A = \omega R\sqrt2\) и направлена под углом \(\pi/4\) к горизонтали. Радиус кривизны траектории определяется из соотношения \[r_A = \frac{v_A^2}{a_A^{(\perp)}} = \frac{v_A^2\sqrt2}{a_A},\] где \(a_A^{(\perp)}\) — проекция ускорения на направление, перпендикулярное скорости. Таким образом, ответ: \(r_A = 2\sqrt2 R \approx 40\) см.

Рассуждая так же, как в пункте a), можно получить для радиуса кривизны траектории точки \(B\) соотношение \[r_B = 4R\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\varphi}{2}\right),\] из которого следует ответ: \(r_B = 2R \approx 28\) см.

Курс на северо-восток означает постоянный угол \(45^\circ\) с меридианом. Найдите широту самолёта через время \(T\) и радиус его параллели, а затем разложите ускорение на составляющие от поворота вектора скорости.

Через 4 часа полёта самолёт движется относительно Земли с ускорением, модуль которого равен \(a \cong 0{,}1\) м/с\(^2\).

Ускорение имеет две составляющие: к центру глобуса и вдоль поверхности, перпендикулярно скорости. Вторая связана с поворотом касательной к траектории при движении по глобусу.

\(a = \dfrac{V^2}{R}\sqrt{\dfrac{5}{2}} \approx 1{,}58\text{ см/с}^2\).

Сила натяжения нити одинакова по обе стороны от гвоздя (трения нет), а нить нерастяжима. Что это говорит об ускорениях шайб вдоль нити и о радиусах кривизны их траекторий в этот момент?

1) \(T = mv^2\,\dfrac{L+l}{2Ll}\),  \(a = v^2\,\dfrac{L-l}{2Ll}\);  2) \(R = \dfrac{2Ll}{L+l}\).

Точка \(B\) движется по окружности вокруг \(A\), поэтому её скорость направлена вдоль нити \(BC\). Для длины \(BC\) перейдите в систему отсчёта точки \(C\): там \(B\) движется по окружности вокруг \(C\), а так как \(\vec a_C = 0\), ускорения в обеих системах одинаковы.

1) \(v_B = v\cos\varphi = \dfrac{v\sqrt3}{2}\);  2) \(l_{BC} = \dfrac{v^2\sin^2\varphi}{a_\tau} = \dfrac{v^2}{4a_\tau}\);  3) \(a_B = a_\tau\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^6\varphi} = 2\sqrt7\,a_\tau\).

Так как точка \(A\) закреплена, а нить \(AB\) натянута, то точка \(B\) движется по окружности с центром в точке \(A\) и радиусом \(l_{AB}\). Следовательно, её скорость в рассматриваемый момент перпендикулярна радиусу окружности, то есть нити \(AB\), и поэтому направлена вдоль нити \(BC\), перпендикулярной нити \(AB\). Найти скорость точки \(B\) можно двумя способами.

Первый способ: поскольку нить \(BC\) нерастяжима и натянута, то проекции скоростей точек \(B\) и \(C\) на неё равны. Проекция скорости точки \(C\) на нить \(BC\) равна \(v\cos\varphi\), так что \(v_B = v\cos\varphi\).

Второй способ: перейдем в систему отсчета точки \(C\), то есть в поступательно движущуюся систему отсчёта, в которой точка \(C\) покоится. Скорости \(\vec v_B\) и \(\vec v\,'_B\) точки \(B\) в исходной и новой системах отсчёта соответственно связаны соотношением \(\vec v_B = \vec v\,'_B + \vec v_C\), где \(\vec v_C\) — скорость точки \(C\) в исходной системе отсчёта. В новой системе отсчёта точка \(C\) покоится, нить \(BC\) натянута, так что точка \(B\) движется по окружности с центром в точке \(C\) и радиусом \(l_{BC}\). При этом скорость точки \(B\) в новой системе отсчёта направлена перпендикулярно радиусу окружности — нити \(BC\). Значит, скорости \(\vec v_B\), \(-\vec v\) и \(\vec v_B - \vec v = \vec v\,'_B\) образуют прямоугольный треугольник с углом \(\varphi\) между \(\vec v\) и \(\vec v_B\), в котором \(\vec v\) является гипотенузой. В таком случае \(v_B = v\cos\varphi\).

\[v_B = v\cos\varphi = \frac{v\sqrt3}{2}.\] Теперь определим длину нити \(BC\). Для этого перейдём в систему отсчёта точки \(C\), в точности как в Варианте 2 в предыдущем пункте. Поскольку новая система отсчёта поступательно движется относительно исходной, то ускорения \(\vec a_B\) и \(\vec a\,'_B\) точки \(B\) в исходной и новой системах отсчёта соответственно связаны соотношением \(\vec a_B = \vec a\,'_B + \vec a_C\), где \(\vec a_C\) — ускорение точки \(C\) в исходной системе отсчёта. Так как точка \(B\) движется по окружности с центром в точке \(C\) в новой системе отсчёта, то её ускорение складывается из тангенциального ускорения \(\vec a\,'_\tau\), направленного вдоль нити \(AB\), и ортогонального ему нормального ускорения \(\vec a\,'_n\), направленного к точке \(C\) вдоль нити \(BC\). По условию в исходный момент \(\vec a_C = 0\), так что \(\vec a_B = \vec a\,'_B\). Также дано, что ускорение точки \(B\), направленное вдоль нити \(BC\), равно \(a_\tau\). Значит, нормальное ускорение точки \(B\) в новой системе отсчёта равно \(a_\tau\). С другой стороны, оно равно \[\frac{(v'_B)^2}{l_{BC}} = \frac{(v\sin\varphi)^2}{l_{BC}},\] где равенство \(v'_B = v\sin\varphi\) получается из геометрии прямоугольного треугольника, образованного скоростями \(\vec v_B\), \(-\vec v\) и \(\vec v\,'_B\). Таким образом, \[a_\tau = \frac{(v\sin\varphi)^2}{l_{BC}} \quad\Longrightarrow\quad l_{BC} = \frac{v^2\sin^2\varphi}{a_\tau}.\] \[l_{BC} = \frac{v^2\sin^2\varphi}{a_\tau} = \frac{v^2}{4a_\tau}.\] Определим полное ускорение точки \(B\) в исходной системе отсчёта. Поскольку в исходной системе отсчёта точка \(B\) движется по окружности с центром в точке \(A\), то её полное ускорение складывается из двух ортогональных составляющих: тангенциального ускорения \(a_\tau\) и нормального ускорения, направленного вдоль нити \(AB\) к точке \(A\) и равного \[a_n = \frac{v_B^2}{l_{AB}} = \frac{v^2\cos^2\varphi}{l_{BC}\cdot\operatorname{tg}\varphi} = \frac{a_\tau\cos^3\varphi}{\sin^3\varphi} = a_\tau\operatorname{ctg}^3\varphi.\] Равенство \(l_{AB} = l_{BC}\cdot\operatorname{tg}\varphi\) получается из геометрии прямоугольного треугольника \(ABC\). Полное ускорение точки \(B\) находим по теореме Пифагора \[a_B = \sqrt{a_n^2 + a_\tau^2} = a_\tau\cdot\sqrt{1 + \operatorname{ctg}^6\varphi} = 2\sqrt7\,a_\tau.\]

Резистор на поверхности балки лежит на дуге радиуса \(r \pm d/2\) с тем же углом, что и участок недеформируемой линии. Мостовая схема при малых \(\Delta R\) даёт напряжение, пропорциональное разности относительных изменений сопротивлений \(R_1\) и \(R_2\).

1) \(\varepsilon_1 = \dfrac{d}{2r}\);  2) \(\varepsilon_2 = -\dfrac{d}{2r}\);  3) \(n = 1\), \(\gamma = \dfrac{\mathcal{E}kd}{4\alpha}\);  4) \(U' = \dfrac{\mathcal{E}kdm}{4\alpha}\) — показания не изменятся;  5) \(U'' = \dfrac{\mathcal{E}kdm}{4\alpha}\) — показания не изменятся.

Проведем из центра дуги окружности недеформируемой линии два луча к краям резистора №1. Эти два луча отсекут на недеформируемой линии дугу, размер которой будет равен размеру резистора \(l_0\) до деформации. Положим угол между лучами равным \(\beta\). Тогда размер резистора в недеформируемом состоянии окажется равным \(l_0 = \beta r\).

Размер подложки после деформирования балки составит \[l = \beta(r + d/2).\] Тогда величина относительного удлинения резистора составит \[\varepsilon_1 = \frac{l - l_0}{l_0} = \frac{d}{2r}.\] Относительное изменение длины резистора №2 будет таким же по модулю, но отрицательным: \[\varepsilon_2 = -\frac{l - l_0}{l_0} = -\frac{d}{2r}.\]

В ненагруженном состоянии балки напряжения на резисторах №1 и №2 одинаковы и равны половине напряжения источника питания. Показания вольтметра в этом случае будут нулевыми. При нагрузке балки сопротивление резистора №1 увеличится на величину \[\Delta R = k\varepsilon R_0 = k\cdot\frac{d}{2r}\cdot R_0 \ll R_0,\] а сопротивление резистора №2 уменьшится на ту же величину. Силы тока через резисторы \(R_1\) и \(R_2\), соответственно, равны \[I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_0} = \frac{\mathcal{E}}{2R_0 + \Delta R}, \qquad I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2 + R_0} = \frac{\mathcal{E}}{2R_0 - \Delta R}.\] Показание вольтметра будет равно разности напряжений на резисторах \(R_3 = R_0\) и составит \[U = (I_2 - I_1)R_0 = \left(\frac{\mathcal{E}}{2R_0 - \Delta R} - \frac{\mathcal{E}}{2R_0 + \Delta R}\right)\cdot R_0 = \frac{2\mathcal{E}R_0\Delta R}{4R_0^2 - (\Delta R)^2} \approx \frac{\mathcal{E}}{2}\cdot\frac{\Delta R}{R_0}.\] С учетом ранее полученного выражения для изменений сопротивлений резисторов: \[U = \frac{\mathcal{E}kd}{4r} = \frac{\mathcal{E}kdm}{4\alpha}.\] Таким образом, зависимость величины показаний вольтметра от массы поставленного на платформу груза является прямой пропорциональностью, то есть \(n = 1\). Тогда для коэффициента этой зависимости имеем: \[\gamma = \frac{\mathcal{E}kd}{4\alpha}.\]

Если недеформируемая линия балки будет проходить на некотором расстоянии \(x\) от верхней поверхности балки, то формулы для относительной деформации подложек резисторов №1 и №2 примут вид: \[\begin{cases} \varepsilon_1 = x/r,\\ \varepsilon_2 = -(d - x)/r. \end{cases}\] Соответственно, относительные изменения сопротивлений: \[\begin{cases} \Delta R_1/R_0 = kx/r,\\ \Delta R_2/R_0 = -k(d - x)/r. \end{cases}\] Тогда для показаний вольтметра аналогично предыдущему случаю получим: \[U' = \left(\frac{\mathcal{E}}{2R_0 + \Delta R_2} - \frac{\mathcal{E}}{2R_0 + \Delta R_1}\right)\cdot R_0 = \frac{\mathcal{E}R_0(\Delta R_1 - \Delta R_2)}{(2R_0 + \Delta R_1)(2R_0 + \Delta R_2)} \approx \frac{\mathcal{E}}{4}\cdot\frac{\Delta R_1 - \Delta R_2}{R_0},\] откуда \[U' = \frac{k\mathcal{E}}{4}\left(\frac{x}{r} + \frac{d - x}{r}\right) = \frac{\mathcal{E}kd}{4r} = U.\] То есть полученный ранее ответ не зависит от места положения недеформируемой линии.

Теперь предположим, что балка ко всему прочему нагрелась. Тогда к относительным изменениям длины подложек резисторов добавятся еще и удлинения за счет теплового расширения балки: \[\begin{cases} \varepsilon_1 = d/(2r) + \varepsilon_3,\\ \varepsilon_2 = -d/(2r) + \varepsilon_3. \end{cases}\] Проведя аналогичные вычисления, получим, что и в этом случае показания вольтметра останутся прежними:

\[U'' = \frac{k\mathcal{E}}{4}\left(\frac{d}{2r} + \varepsilon_3 - \frac{d}{2r} - \varepsilon_3\right) = \frac{\mathcal{E}kd}{4r} = U.\] То есть предложенная схема тензоэлектрического датчика является термостабильной и в целом не чувствительна к деформациям растяжения-сжатия балки.

Запишите, как за малое время меняются расстояние \(r = BC\) и координата \(y\) поперёк реки: из них складывается величина, которая не меняется. Ускорение лодки относительно берега — это только поворот вектора её скорости относительно воды.

1) против течения;  2) \(\angle ABC = 60^\circ\);  3) \(l/2\);  4) \(2l/3\);  5) а) \(R_A = l/2\), б) \(R_1 = \dfrac{4\sqrt3}{9}\,l\).

Рассмотрим случай, когда лодка начинает движение по течению реки. Введём систему координат с началом в пункте \(A\), ось \(x\) направим вдоль скорости течения, а ось \(y\) направим к пункту \(B\). Пусть \(r\) — расстояние от точки \(B\) до центра лодки, \(\angle ABC = \alpha\). Тогда для движения «по течению» элементарные приращения за малое время \(\mathrm{d}t\):

\[\mathrm{d}r = u\sin\alpha\,\mathrm{d}t, \tag{1}\] \[\mathrm{d}x = 2u\cos\alpha\,\mathrm{d}t + u\,\mathrm{d}t, \tag{2}\] \[\mathrm{d}y = 2u\sin\alpha\,\mathrm{d}t. \tag{3}\] В любой момент времени до достижения лодкой противоположного берега \(0 \leqslant \alpha \leqslant \pi/2\), поэтому \(v_x = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2u\cos\alpha + u \geqslant u > 0\). Поэтому скорость относительно берега не может быть направлена перпендикулярно линии берега. Отсюда делаем вывод, что лодка начала движение из пункта \(A\) против течения.

Итак, лодка начинает движение против течения реки. Введём также систему координат с началом в пункте \(A\), ось \(x\) направим вдоль скорости течения, а ось \(y\) направим к пункту \(B\), \(r\) — расстояние от точки \(B\) до центра лодки, \(\angle ABC = \alpha\). Тогда для движения «против течения» элементарные приращения за малое время \(\mathrm{d}t\):

\[\mathrm{d}r = -u\sin\alpha\,\mathrm{d}t, \tag{4}\] \[\mathrm{d}x = -2u\cos\alpha\,\mathrm{d}t + u\,\mathrm{d}t, \tag{5}\] \[\mathrm{d}y = 2u\sin\alpha\,\mathrm{d}t. \tag{6}\] При движении перпендикулярно линии берега \(\mathrm{d}x = 0\), тогда из уравнения (5) следует \(-2u\cos\alpha + u = 0 \implies \cos\alpha = 1/2 \implies \alpha = 60^\circ = \pi/3\).

Умножая уравнение (4) на 2 и складывая с уравнением (6), получим \[2\,\mathrm{d}r + \mathrm{d}y = 0 \implies 2r + y = \mathrm{const}.\] Вычислим эту константу в момент начала движения (\(r_A = l\), \(y_A = 0\)), откуда \(r(y) = l - y/2\). В момент достижения противоположного берега \[y_B = l \implies r_B = l/2.\]

В момент времени \(t_1\) из геометрических соображений можно записать, что \(r\cos\alpha = l - y\). Подставляя зависимость \(r(y)\) и значение угла \(\alpha\) в этот момент времени, получаем уравнение: \[\frac12(l - y_1/2) = l - y_1 \implies y_1 = \frac23 l \implies r_1 = \frac23 l.\]

Для нахождения радиуса кривизны траектории найдём скорость и ускорение в нужных точках. Скорость относительно берега равна сумме скорости воды \(\vec u\) в реке и скорости лодки \(\vec u_\text{л}\) относительно воды: \(\vec v = \vec u + \vec u_\text{л}\). После возведения в квадрат получаем: \(v = \sqrt{\vec u^{\,2} + \vec u_\text{л}^{\,2} + 2(\vec u\cdot\vec u_\text{л})} = \sqrt{u^2 + 4u^2 + 4u^2\cos\angle(\vec u, \vec u_\text{л})} = u\sqrt{5 + 4\cos\angle(\vec u, \vec u_\text{л})}\). Для точки старта \(\angle(\vec u, \vec u_\text{л}) = \pi\), тогда скорость равна \(v_A = u\). Для момента времени \(t_1\) угол между скоростями \(\angle(\vec u, \vec u_\text{л}) = \pi - \alpha\), тогда скорость равна \(v_1 = u\sqrt3\).

Скорость лодки равна векторной сумме скоростей течения воды и лодки относительно воды. Скорость течения не меняется ни по модулю, ни по направлению. Скорость лодки не меняется по модулю, но меняется по направлению. Производная вектора скорости лодки по модулю равна произведению угловой скорости вращения вектора \(\vec u_\text{л}\) на модуль этого вектора. Получим выражение для ускорения лодки: \[\vec a_\text{абс} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec u + \vec u_\text{л}) = \frac{\mathrm{d}\vec u}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\vec u_\text{л}}{\mathrm{d}t} = \vec a_\text{л},\] \[|\vec a_\text{л}| = 2u\cdot\omega_\alpha = 2u\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t}.\] Для нахождения производной угла \(\alpha\) надо компоненту скорости, перпендикулярную отрезку \(BC\), поделить на расстояние \(r\): \[v_\perp = 2u - u\cos\alpha,\] \[\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} = \omega_\alpha = \frac{2u - u\cos\alpha}{r}.\] В момент выхода из пункта \(A\) угол \(\alpha = 0\), поэтому: \[\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} = \frac{u}{l} \implies a_A = \frac{2u^2}{l}.\] В момент времени \(t_1\) угол \(\alpha = \pi/3\), значит: \[\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}t} = \frac{3u/2}{2l/3} = \frac{9u}{4l} \implies a_1 = \frac{9u^2}{2l}.\] В пункте отправления скорость и ускорение взаимно перпендикулярны, поэтому найти радиус кривизны траектории можно следующим образом: \[R_A = \frac{v_A^2}{a_A} = \frac{l}{2}.\] Для момента времени \(t_1\) найдём проекцию ускорения на перпендикуляр к скорости движения, т. е. на ось \(Ox\): \(a_{1x} = a_1\sin\alpha = \dfrac{9u^2\sqrt3}{4l}\), тогда радиус кривизны траектории в этой точке: \[R_1 = \frac{v_1^2}{a_{1x}} = \frac{4\sqrt3\,l}{9}.\]