Точка с постоянным модулем ускорения

Выразите тангенциальное и нормальное ускорения через производные по углу \(2\varphi\) и используйте постоянство модуля ускорения.

Тангенциальное ускорение связано с нормальным соотношением \[a_\tau = \frac{dV}{dt} = \frac{VdV}{Vdt} = \frac{1}{2}\,\frac{R\,d(V^2)}{R\,ds} = \frac{d(V^2/R)}{d(2\varphi)} = \frac{da_n}{d(2\varphi)} = a_n',\] где штрих обозначает дифференцирование по аргументу \(2\varphi\), \(R = \text{const}\). По условию модуль ускорения не меняется: \(a_\tau^2 + a_n^2 = a^2\), тогда \((a_n')^2 + a_n^2 = a^2\). Это уравнение гармонического осциллятора с \(m = k = 1\), поэтому \(a_n = a\sin 2\varphi\) (с учётом \(a_n(0) = 0\), \(a_n'(0) = a\)). Отсюда \(V^2(\varphi) = aR\sin 2\varphi\) и \[V(\varphi) = \sqrt{aR\sin 2\varphi} = \sqrt{1\cdot 5\cdot\sin 20^\circ}\text{ м/с} \approx 1{,}3\text{ м/с}.\]