Электронная мышка и электронная кошка

Малый участок траектории можно считать дугой окружности, на которой вектор скорости поворачивается на тот же угол. Отсюда радиус кривизны связан с отношением линейной и угловой скорости, а центростремительное ускорение равно \(v^2/R\).

Ответ на вопрос: при описании криволинейного движения бесконечно малый участок траектории можно представить как дугу окружности, на которой вектор скорости поворачивается на тот же угол. Если на малом участке длиной \(\Delta l\) вектор скорости поворачивается на угол \(\Delta\varphi\), то мгновенный центр вращения лежит на пересечении перпендикуляров к векторам скорости в начале и конце участка, и в пределе \(R = \dfrac{\Delta l}{\Delta\varphi}\) — радиус кривизны траектории в данной точке. Он является геометрической характеристикой участка траектории и не зависит от скорости; центростремительное ускорение равно \(a_n = \dfrac{v^2}{R}\).

За любой малый интервал времени \(\Delta t\) расстояние между ЭК и ЭМ сокращается на \(V\Delta t\) благодаря движению ЭК, поэтому длительность погони \(\tau = \dfrac{l_0}{V} = 5\) с.

Модули скоростей ЭМ и ЭК не меняются, поэтому их ускорения определяются радиусами кривизны траекторий. Угол между скоростями ЭМ и ЭК равен \(90^\circ\), поэтому они поворачиваются на один и тот же угол \(\Delta\alpha\). Отношение длин малых участков траекторий равно отношению модулей скоростей, значит, \(\dfrac{R_{ЭК}}{R_{ЭМ}} = \dfrac{V}{u}\). Тогда \[\frac{a_{ЭМ}}{a_{ЭК}} = \frac{u^2}{R_{ЭМ}}\cdot\frac{R_{ЭК}}{V^2} = \frac{u}{V} = 2.\] Явно вычисленные радиусы кривизны подтверждают результат: \(R_{ЭМ} = l\), \(a_{ЭМ} = \dfrac{u^2}{l}\), \(R_{ЭК} = \dfrac{V}{u} l\), \(a_{ЭК} = \dfrac{Vu}{l}\). Таким образом, на протяжении всей погони отношение ускорений неизменно и равно \(2\).

Ответ: \(\tau = \dfrac{l_0}{V} = 5\) с; отношение ускорений постоянно и равно \(\dfrac{a_{ЭМ}}{a_{ЭК}} = \dfrac{u}{V} = 2\).