Стержень на трёх нитях

Запишите условия равновесия стержня: сумму сил и сумму моментов относительно точки крепления третьей нити. Для недостающего уравнения используйте, что деформации нитей малы и связаны геометрически.

Ответ на вопрос: плечом силы относительно оси называют расстояние от оси до линии действия силы (в школьной программе рассматриваются только случаи, когда ось перпендикулярна плоскости возможного вращения тела). Момент силы — произведение величины силы на её плечо, взятое со знаком «\(+\)» («\(-\)»), если сила вращает тело вокруг оси в положительном («отрицательном») направлении: \(M = \pm |F|\, l_\perp\).

На стержень действуют силы натяжения нитей \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\), сила тяжести \(Mg\) (приложена к середине стержня, так как он однородный) и вес груза \(mg\). Условие равенства нулю суммы сил: \(T_1 + T_2 + T_3 = (M + m)g\). Условие равенства нулю суммы моментов относительно точки крепления третьей нити: \[T_1 \frac{3L}{4} + T_2 \frac{3L}{8} + mg \frac{L}{4} = Mg \frac{L}{4},\] то есть \(6T_1 + 3T_2 = 2(M - m)g\). Этих уравнений не хватает. Дополнительно учитываем, что деформации нитей малы, а деформации стержня и потолка ещё меньше, поэтому деформации нитей — отрезки трёх параллельных прямых между сторонами одного угла. Вторая нить стоит точно посередине между первой и третьей, поэтому её деформация равна полусумме деформаций первой и третьей: \(2x_2 = x_1 + x_3\). Нити одинаковы, значит, \(2T_2 = T_1 + T_3\).

Из этого уравнения и условия равновесия сил получаем \(3T_2 = (M + m)g\), а из уравнения моментов — \(T_1 = \dfrac{1}{6}(M - 3m)g\). Первая нить натянута, если \(T_1 > 0\), поэтому она провиснет при \(m \geqslant \dfrac{M}{3} = 300\) г. Нетрудно проверить, что при \(m = 300\) г две другие нити ещё натянуты; следующей провиснет вторая нить, когда масса груза достигнет массы стержня.

Ответ: первая нить провиснет при \(m \geqslant \dfrac{M}{3} = 300\) г.