Радиусы кривизны

При качении с постоянной скоростью ускорение точки обруча такое же, как при вращении вокруг оси в системе, движущейся со скоростью оси. Радиус кривизны найдите как \(v^2/a_\perp\).

Ускорение точки \(A\) в системе, движущейся со скоростью оси, и в лабораторной системе одинаковое. Оно равно \(a_A = \omega^2 R\) и направлено горизонтально (\(\omega\) "— угловая скорость). Скорость точки \(A\) равна \(v_A = \omega R\sqrt2\) и направлена под углом \(\dfrac{\pi}{4}\) к горизонтали. Радиус кривизны траектории определяется из соотношения \[r_A = \frac{v_A^2}{a_A^{(\perp)}} = \frac{v_A^2\sqrt2}{a_A},\] где \(a_A^{(\perp)}\) "— проекция ускорения на направление, перпендикулярное скорости. Таким образом, ответ: \(r_A = 2\sqrt2 R \approx 40\) см.

Рассуждая так же, как в пункте a), можно получить для радиуса кривизны траектории точки \(B\) соотношение \[r_B = 4R\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\varphi}{2}\right),\] из которого следует ответ: \(r_B = 2R \approx 28\) см.