Ёмкость на бревне

Так как ёмкость наполнена водой до краёв и поверхностное натяжение пренебрежимо мало, то при решении задачи необходимо учесть выливание воды через края при небольших наклонах ёмкости.

Пусть ёмкость повернулась без проскальзывания по бревну на малый угол \(\alpha\) (см. рис. 1.185); при этом можно считать, что \(\cos\alpha \approx 1\), а \(\sin\alpha \approx \alpha\).

Тогда линия её опоры на бревно переместилась в горизонтальном направлении вправо на расстояние \(R\alpha\). Центр масс воды при этом переместился по горизонтали в том же направлении, что и точка опоры, на некоторое расстояние \(X\), которое можно определить из следующих соображений. Если бы вода не выливалась и её масса \(M\) оставалась постоянной, то центр масс воды (чёрная точка) сместился бы, очевидно, на расстояние \(X_0 \approx (H/2)\alpha\) (при этом мы пренебрегаем горизонтальным смещением ёмкости при её перекатывании по бревну). Однако, при перекатывании вылилась часть воды, соответствующая незаштрихованному треугольнику на рисунке. Площадь этого прямоугольного треугольника \(S_1 \approx \dfrac{1}{2}L^2\alpha\), масса вылившейся воды \(M_1\) пропорциональна доле \(S_1\) от всей площади \(S = LH\). Таким образом, \(M_1 = \dfrac{S_1}{S}M \approx \dfrac{L}{2H}M\cdot\alpha\), а центр масс этой воды (светлый кружочек) находится на одной трети высоты \(L\) треугольника, то есть на расстоянии \(X_1 = L/6\) по горизонтали слева от центра ёмкости. Поэтому полное смещение центра масс ёмкости с водой после её наклона равно \[X = \dfrac{MX_0 + M_1X_1}{M} \approx \dfrac{H}{2}\cdot\alpha + \dfrac{L^2}{12H}\cdot\alpha.\] Для того, чтобы равновесие сосуда было устойчивым, нужно, чтобы его точка опоры смещалась на бо́льшее расстояние, чем смещается центр масс воды: \(R\alpha > X\). Итак, положение сосуда будет устойчивым при \(R > \dfrac{H}{2} + \dfrac{L^2}{12H}\).